N.Cham.
62-5 034m.Pm 2003
Autor: OGata, Katsuhiko. Titulo: Engenharia de controle modemo
I IIIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIII IIII 51281002
Ac.428969
Sumario
ix
Introducao aos Sistemas de Controle
1
1 rplos de sistemas de controle 2 ole de malha fechada versus controle de malha aberta ~L.LuLu..a do livro 6
Transformada de Laplace
5
8
8 · -o das variaveis complexas e das funcoes complexas 8 · ormada de Laplace 11 remas da transformada de Laplace 19 ormada inversa de Laplace 27 Erpansao em fracoes parciais com o MATLAB 31 - o de equacoes diferenciais lineares e invariantes no tempo Eremplos de problemas com solucao 36 lemas 43
Modelagem Matematica de Sistemas Dinarnicos 45 • -ode transferencia e de resposta impulsiva 46 mas de controle automatico 49 _ odelagem no espaco de estados 58 Representacao de sistemas dinamicos no espaco de estados formacao de modelos matematicos com MATLAB mas mecanicos 71 mas eletricos e eletronicos 74 Graficos de fluxo de sinais 84 Linearizacao de modelos 92 Exemplos de problemas com solucao 94 Problemas 119
64 69
34
45
vi
Surnarlo
Capitulo 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
Introducao 124 Sistemas de nfvel de liquidos 125 Sistemas pneumaticos 128 Sistemas hidraulicos 143 Sistemas termicos 154 Exemplos de problemas com solucao Problemas 173
Capitulo 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9
Analise do Lugar das Raizes
1 79
230
276
276 Grafico do lugar das rafzes 277 Resumo das regras gerais para construcao do lugar das raizes 288 Desenhando o grafico do lugar das tafzes com o MATLAB 294 Sistema com realimentacao positiva 307 Sistemas condicionalmente estaveis 310 Lugar das rafzes para sistemas com retardo de trasnporte 311 Exemplos de problemas com solucao 316 Problemas 340
Projeto de Sistemas de Controle pelo Metodo do Lugar das Raizes
Introducao 342 Consideracoes preliminares do projeto 345 Cornpensacao por avanco de fase 346 Compensacao por atraso de fase 352 Compensacao por atraso de avanco de fase 360 Compensacao em paralelo 369 Exemplos de problemas com solucao 374 Problemas 398
Capitulo 8 8.1 8.2 8.3 8,4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10
Analise de Resposta Transit6ria e de Regime Estacionario
Introducao
Capitulo 7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6
124
157
Introducao 179 Sistemas de primeira ordem 180 Sistemas de segunda ordem 183 Sistemas de ordem superior 196 Analise da resposta transit6ria com o MATLAB 199 Um exemplo de problema resolvido com o MATLAB 222 Criterio de estabilidade de Routh 225 Efeitos das acoes de controle integral e derivativo no desempenho dos sistemas Erros estacionarios em sistemas de controle com realimentacao unitaria 236 Exemplos de problemas com solucao 240 Problemas 270
Capitulo 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7
Modelagem Matematica de Sistemas Fluidicos e Sistemas Terrnlcos
Analise de Resposta em Freqllencia
401
Introducao 401 Diagramas de Bode 405 Construcao do diagrama de Bode com o MATLAB 421 Diagramas polares 427 Construcao de diagramas de Nyquist com o MATLAB 434 Diagramas de m6dulo em dB versus angulo de fase 440 Criterio de estabilidade de Nyquist 441 Analise de estabilidade 449 Estabilidade relativa 457 Resposta em frequencia de malha fechada de sistemas com realimentacao unitaria
471
342
vii Determinacao experimental de funcoes de transferencia Exemplos de problemas com solucao 482 Problemas 502
'""""" nu.no 9
478
Projeto de Sistemas de Controle pela Resposta em Freqiiencia
506
Introducao 506 Compensacao por avanco de fase 508 Compensacao por atraso de fase 516 Compensacao por atraso e avanco de fase 523 Comentarios conclusivos 528 Exemplos de problemas com solucao 531 Problemas 555
....__...L.4,o 10
Controle PID e Sistemas de Controle com Dois Graus de Liberdade
Introducao 557 Regras de sintonia para controladores PID 558 Abordagem computacional na obtencao de conjuntos 6timos de valores de parametros 565 Variantes dos esquemas de controle PIO 572 Controle com dois graus de liber'clade 575 Abordagem por alocacao de zeros para a melhoria das caracterfsticas de resposta 577 Exemplos de problemas com solucao 592 Problemas 610
CillpillJ.lo 11
Analise de Sistemas de Controle no Espaco de Estados
616 Representacao de funcoes de transferencia no espaco de estados 'Iransformacao de modelos de sistemas com o MATLAB 623 Resolvendo a equacao de estado invariante no tempo 625 Alguns resultados uteis na analise vetorial-matricial 632 Controlabilidade 638 Observabilidade 643 Exemplos de problemas com solucao 649 Problemas 675
Cilpitlll1o 12
617
Projeto de Sistemas de Controle no Espaco de Estados
Introducao 678 Alocacao de polos 678 Resolvendo problemas de alocacao de polos com o MATLAB Projeto de servossistemas 691 Observadores de estado 701 Projeto de sistemas reguladores com observadores 723 Projeto de sistemas de controle com observadores 730 istemas reguladores quadraticos otimos 735 Exemplos de problemas com solucao 746 Problem as 776
Remissivo
783
616
688
678
557
Prefacio
- rro apresenta um amplo estudo sobre a analise e o projeto de sistemas de controle. Escrito para esdiversas areas da engenharia, entre as quais mecanica, eletrica e qufmica, ele se presta como um exto de sistemas de controle e exige como pre-requisite conhecimentos de equacoes diferenciais, icial e vetorial, analise de circuitos e mecanica. ipal implementacao feita nesta nova edicao e apresentar sistemas de controle com dois graus de ara projetos de sistemas de controle de alto desempenho, a fim de tornar nulos os erros estao acompanhamento de entradas em degrau, rampa e aceleracao. Alem disso, apresenta uma ferrantacional (MATLAB) para determinar a localizacao de polos e zeros do controlador, a fim de cteristicas desejadas da resposta transitoria, como maximo sobre-sinal e tempo de acomodacao e.z:!i?J!Sta em degrau, em valores especificados. Esses temas sao discutidos no Capitulo 10. 0 Capitulo 5 ( que ••m1ie-ntalmente aborda a analise de resposta transitoria) e o Capftulo 12 (que trata basicamente do posi... 113!:nIO do polo e do projeto do observador de estado) sao ampliados com o MATLAB. Houve o acresci- ios problemas resolvidos nesses capitulos, proporcionando ao leitor uma boa compreensao do como ferramenta para a analise e o projeto de sistemas de controle. Ao longo do livro, os proutacionais sao resolvidos com o MATLAB. · TO esta organizado em 12 capftulos, a saber: o Capitulo 1 apresenta uma introducao aos sistemas e:c:mm::i,o1:;.. 0 Capitulo 2 trata das transformadas de Laplace de funcoes de tempo, frequentemente utilizadas -~ .............iria de controle e de alguns dos mais importantes teoremas da transformada de Laplace. (Esse eraser deixado de lado, caso o estudante ja esteja farniliarizado com esse assunto ). 0 Capitulo 3 odelagem matematica de sistemas dinamicos (em especial os sistemas matematicos, eletricos e 91Diil:lcus e desenvolve modelos de funcoes de transferencia e modelos no espaco de estados, alem de in- graficos de fluxo de sinais e discutir uma tecnica de linearizacao para modelos matematicos nao pitulo 4 apresenta a modelagem matematica de sistemas flufdicos (como sistemas de nivel de lfqui-Lm-=lllpneumaticos e sistemas hidraulicos) e sistemas termicos, 0 Capftulo 5, par sua vez, trata da analise 2!'!IOO!St.ilS transitorias de sistemas dinamicos a entradas em degrau, rampa e impulso com o MATLAB. --··-~",· o criteria de estabilidade de Routh e apresentado para a analise de estabilidade de sistemas de •*=•~;!!llerior e para a analise de erros estacionarios de sistemas de controle com realimentacao unitaria. 0 aborda a analise do lugar das rafzes dos sistemas de controle e discute com detalhes a construcao raizes com o uso do MATLAB e a analise do lugar das raizes dos sistemas com realimentacao po__ ._,._-.,:,_sistemas condicionalmente estaveis e dos sistemas com retardo de transporte. 0 Capitulo 7 apresenta •~::acas de compensacao par avanco de fase, par atraso de fase e par atraso e avanco de fase pelo metodo raizes, alem de discutir as tecnicas de compensacao em serie e em paralelo.
x
Prefacio
O Capitulo 8 traz informacoes basicas sobre a analise de resposta em frequencia, Os diagramas de Bode, os diagramas polares, o criteria de estabilidade de Nyquist e a resposta em frequencia de malha fechada sao discutidos nesse capitulo, que inclui o uso do MATLAB para obter diagramas de resposta em frequencia. 0 Capftulo 9 trata das tecnicas de compensacao usando metodos de resposta em frequencia, em especial o diagrama de Bode para o projeto de compensacao por avanco de fase, por atraso de fase e por atraso e avanco de fase. O Capitulo 10 aborda os controles PID basico e modificado e apresenta a ferramenta computacional (MATLAB) para a obtencao da melhor opcao de valores de parametros de controladores que satistacam as condicoes de caracterfsticas de resposta em degrau. Em seguida, discute os sistemas de controle com dois graus de liberdade. Depois, traz o estudo do projeto de sistemas de controle com alto desempenho que segue uma entrada em degrau, rampa ou aceleracao sem a constante de erro estacionario. 0 metodo de alocacao de zeros e utilizado para obter esse desempenho. O Capitulo 11 apresenta uma analise basica dos sistemas de controle no espaco de estados, alem dos conceitos de controlabilidade e observabilidade. Alem disso, discute a transformacao de modelos de sistemas (do modelo de funcoes de transferencia ao modelo no espaco de estados e vice-versa) com o MATLAB. 0 Capitulo 12 comeca com a tecnica de projeto de alocacao de polos e segue com o projeto de observadores no espaco de estados. Sao abordados os observadores de estado de ordem plena e de ordem minima e discutidos em detalhes os projetos de servossistemas do tipo 1 e os projetos de sistemas reguladores com observadores e de sistemas de controle com observadores. Por fim, discute sobre sistemas reguladores quadraticos 6timos. Neste livro, os conceitos basicos envolvidos sao enfatizados e os argumentos matematicos sao evitados na medida do possfvel na apresentacao das materias, Demonstracoes matematicas sao fornecidas a medida que contribuem para a compreensao do tema apresentado. Todo o material e organizado visando a um desenvolvimento gradual da teoria de controle. Ao longo do livro, exemplos cuidadosamente selecionados sao apresentados em pontos estrategicos, para que o estudante compreenda a importancia da materia estudada. Alem disso, varies exercicios resolvidos (Problemas do tipo A) sao apresentados no final de cada capitulo, com excecao do Capitulo 1. Esses exercfcios constituem uma parte importante do texto. Dessa maneira, cabe ao estudante estudar cuidadosamente esses problemas para compreender bem a materia. Ha tambem muitos problemas (sem a solucao) com varies graus de dificuldade (Problemas do tipo B), que poderao ser feitos fora da sala de aula ou dados na prova. Quero expressar meus sinceros agradecimentos aos professores Athimoottil V. Mathew (Rochester Institute of Technology), Richard Gordon (Universidade do Mississippi), Guy Beale (Universidade George Mason) e Donald T. Ward (Universidade A & M do Texas), que fizeram valiosas sugestoes no estagio inicial do processo de revisao, e aos revisores que deram varies comentarios construtivos. Agradeco tambem aos meus primeiros alunos, que resolveram muitos dos problemas deste livro.
Katsuhiko Ogata
Introducao aos Sistemas de Controle
.1
INTRODm;Ao
O controle automatico tern desempenhado um papel fundamental no avanco da engenharia e da ciencia, ·m da extrema importancia em sistemas de vefculos espaciais, sistemas de direcionamento de misseis, sisas roboticos e similares, o controle automatico tern se tornado de grande importancia e parte integrante modernos processos industriais e de producao. Por exemplo, o controle automatico e essencial no controle erico de maquinas-ferramentas nas indiistrias manufatureiras, no projeto de sistemas de piloto autornatina industria aeroespacial e no projeto de carros e caminhoes na indiistria automotiva. E essencial tamem operacoes industriais, como o controle de pressao, de ternperatura, de umidade, de viscosidade e de -o nos processos industriais. Como os avancos no controle automatico, na teoria e na pratica, vem produzindo meios para otimizar o mpenho dos sistemas dinamicos, melhorar a produtividade, diminuir o trabalho arduo de varias rotinas de eracoes manuais repetitivas, entre outros, a maioria dos engenheiros e dos cientistas devem ter agora bons ecimentos nessa area. Revisao hist6rica. 0 primeiro trabalho significativo de controle automatico foi o regulador centrifugo nstrufdo por James Watt para o controle de velocidade de uma maquina a vapor, no seculo XVIII. Outros trabalhos importantes nos primeiros estagios do desenvolvimento da teoria de controle se devem a Minorsky, Hazen e Nyquist, entre muitos outros. Em 1922, Minorsky trabalhou em controladores automaticos para piem de embarcacoes e demonstrou como a estabilidade poderia ser determinada a partir de equacoes diferenciais que descrevem o sistema. Em 1932, Nyquist desenvolveu um procedimento relativamente simples para determinacao da estabilidade de sistemas de malha fechada com base na resposta de malha aberta a excitacoes senoidais estacionarias, Em 1934, Hazen, que introduziu o termo servomecanismos para sistemas de controle de posicao, discutiu o projeto de servomecanismos a rele, capaz de acompanhar de perto uma variacao de entrada. Durante a decada de 40, metodos de resposta em frequencia ( especialmente os metodos com base nos diagramas de Bode) tornaram possivel aos engenheiros projetar sistemas de controle linear de malha fechada que satisfizessem o desempenho requerido. Do final da decada de 40 ao inicio da de 50, o metodo de lugar das raizes, gracas a Evans, foi plenamente desenvolvido. Os metodos de resposta em frequencia e de lugar das rafzes, os quais sao a essencia da teoria classica de controle, conduziram a sistemas que sao estaveis e satisfazem a um conjunto de condicoes de desempenho relativamente arbitrarias. Esses sistemas sao, em geral, aceitaveis, mas nao sao otimos no sentido estrito desse enno. Desde o final da decada de 50, a enfase nos problemas com projetos de controle foi deslocada do pro' eto de um dentre muitos sistemas que funcionam para o projeto de um sistema que seja otimo em um aspecto relevante. 1
2
Engenharia de Controle Moderno
A medida que os sistemas modernos com muitas entradas e saidas se tornam mais e mais complexos, a descricao de um sistema de controle moderno requer um grande mimero de equacoes, A teoria classica de controle, que trata somente de sistemas com uma entrada e uma saida, tornou-se insuficiente para sistemas com rmiltiplas entradas e safdas.A partir de 1960, uma vez que a disponibilidade dos computadores digitais possibilitou a analise de sistemas complexos diretamente no dominio do tempo, a teoria de controle moderno, com base na analise e na sfntese de domfnio de tempo com o emprego de variaveis de estado, foi desenvolvida para lidar com a crescente complexidade dos sistemas modernos e seus rigorosos requisitos relativos a precisao. a importancia e ao custo em aplicacoes militares, espaciais e industriais. Entre o periodo de 1960 e 1980, o controle 6timo de sistemas determinfsticos e estocasticos, bem como o controle adaptativo e de aprendizagem de sistemas complexos, foram amplamente pesquisados. De 1980 em diante, os desenvolvimentos na teoria de controle moderno se voltaram para o controle robusto, o controle H= e t6picos associados. Agora que os computadores digitais se tomaram mais baratos e compactos, eles sao utilizados como parte integrante dos sistemas de controle. Recentes aplicacoes da teoria de controle moderno incluem sistemas voltados a outras areas, alem da engenharia, como sistemas biol6gicos, de biomedicina, economicos e socioeconomicos Deflnicoes. nologia basica,
Antes de discutirmos os sistemas de controle, e necessario que seja definida uma termi-
Variavel controlada e variavel manipulada. A variavel controlada ea grandeza ou a condicao que e medida e controlada.A variavel manipulada ea grandeza ou a condicao modificada pelo controlador, de modo que afete o valor da veruivel controlada. Normalmente, a vsrisve) controlada ea safda do sistema. Controlar significa medir o valor da variavel controlada do sistema e utilizar a variavel manipulada ao sistema para corrigir ou limitar os desvios do valor medido a partir de um valor desejado. No estudo da engenharia de controle, e preciso definir termos adicionais que sao necessaries a descricao dos sistemas de controle. Sistemas a controlar ou plantas. Um sistema a controlar pode ser parte de um equipamento ou apenas um conjunto de componentes de um equipamento que funcione de maneira integrada, com o objetivo de realizar determinada operacao, Neste livro, denominaremos de sistema a controlar qualquer objeto ffsico a ser controlado (como um componente mecanico, um forno, um reator quimico ou uma espaconave). Processos. 0 dicionario Merriam-Webster define um processo como uma operacao natural de progresso contfnuo ou um desenvolvimento caracterizado por uma serie de modificacoes graduais que se sucedem umas as outras de modo relativamente estavel, avancando em direcao a determinado resultado ou objetivo; ou uma operacao continua progressiva, artificial ou voluntaria, que consiste em uma serie de acoes ou movimentos controlados, sistematicamente destinados a atingir determinados fins ou resultados. Neste livro, designaremos processo toda operacao a ser controlada. Entre os exemplos estao os processos qufmicos, economicos e biol6gicos. Sistemas. Um sistema ea combinacao de componentes que agem em conjunto para atingir determinado objetivo. A ideia de sistema nao fica restrita apenas a algo ffsico. 0 conceito de sistema pode ser aplicado a fenomenos abstratos dinamicos, como aqueles encontrados na economia. Dessa maneira, a palavra 'sistema' pode ser empregada para se referir a sistemas ffsicos, biol6gicos, economicos e outros. Disturbios. Um disttirbio e um sinal que tende a afetar de maneira adversa o valor da variavel de saida de um sistema. Se um disturbio for gerado dentro de um sistema, ele sera chamado de disturbio interno, enquanto um distiirbio externo e aquele gerado fora do sistema e que se comporta como um sinal de entrada no sistema. Controle com realimentaciio, Controle com realimentacao ou de malha fechada refere-se a uma operacao que, na presenca de distiirbios, tende a diminuir a diferenca entre a saida de um sistema e alguma entrada de referencia e atua com base nessa diferenca, Aqui, serao considerados apenas disturbios nao previsiveis, uma vez que disnirbios conhecidos ou previsiveis podem sempre ser compensados no sistema. 1.2
EXEMPLOSDE SISTEMAS DE CONTROLE Nesta secao, apresentaremos varies exemplos de sistemas de controle.
Sistema de controle de velocidade. 0 principio basico de um regulador Watt de velocidade para um motor esta ilustrado no diagrama esquematico da Figura 1.1. A quantidade de combustive! fornecia ao motor e ajustada de acordo com a diferenca entre a velocidade esperada e a velocidade efetiva do motor.
Introducao
aos Sistemas
3
de Controle
t Fechada t Aberta
Motor
Carga
Combustfvel---====l>i::::]:::========1 Val vu la de controle
Ll Sistema de controle de velocidade. A sequencia de acoes pode ser estabelecida da seguinte maneira: o regulador de velocidade e ajustado de que, a velocidade desejada, nao haja fluxo de 6leo sob pressao em ambos os !ados do interior do ciline potencia. Se a velocidade real cai abaixo do valor desejado, devido a um distiirbio, en tao a diminuicao · , centrffuga do regulador de velocidade faz com que a valvula de controle se mova para baixo, fornecen. combustfvel, e a velocidade do motor aumente ate atingir o valor desejado. Por outro lado, se a vede do motor aumenta acima do valor desejado, entao o aumento na forca centrifuga do regulador de idade faz com que a valvula de controle se desloque para cima. Isso diminui o suprimento de cornbustfvel, locidade do motor e reduzida ate atingir o valor esperado. "esse sistema de controle de velocidade, a planta (sistema a controlar) e o motor ea variavel contra.,; a velocidade do eixo do motor. A diferenca entre a velocidade desejada e a velocidade real e o sinal erro. 0 sinal de controle (a quantidade de combustfvel) a ser aplicado a planta (motor) e o sinal atuante. deza extema que perturba a variavel controlada e o disturbio. Uma mudanca inesperada na carga e · rrbio.
Sistema de controle de temperatura . A Figura 1.2 mostra um diagrama esquematico de controle de ratura de um forno eletrico. A temperatura do forno eletrico e medida por um termometro, que e um sitivo anal6gico. 0 sinal anal6gico de temperatura e convertido em sinal digital por um conversor AID gico-digital). 0 sinal digital obtido e fornecido ao controlador por meio de uma interface. Esse sinal e comparado com uma temperatura programada de referencia e, se houver alguma divergencia ( erro ), trnlador envia um sinal ao aquecedor, por meio de uma interface, um amplificador e um rele, fazendo com a emperatura do forno atinja o valor desejado. I
Terrnometro
Interface Forno
eletrico
R Aquecedor
Rele
Amplificador
~--~
L2 Sistema de controle de temperatura.
Interface
Entrada program ad a
4
Engenharia de Controle Moderno
EXEMPLO 1.1 Consideremos o controle de temperatura do compartimento de passageiros de um carro. A temperatura desejada ( convertida em tensao eletrica) ea variavel de entrada do controlador. A temperatura real do compartimento de passageiros deve ser convertida em tensao eletrica por meio de um sensor e realimentar o controlador, para ser comparada com o sinal de entrada. A Figura 1.3 e um diagrama de blocos funcional de controle de temperatura do compartimento de passageiros de um carro. Observe que a temperatura ambiente ea transferencia de calor pela radiacao solar, que nao sao constantes enquanto o carro esta em movimento, agem como disttirbios. Sol
I
Temperatura ambiente
Sensor
I
I Sensor do calor I da radiacao Ternperatura desejada Controlador (Entrada)
-
Aquecedor
~
OU
ar-condicionado
I I
Sensor
Compartimento de passsageiro
Temperatura no compartimento do passageiro (Safda)
-
I
Figura 1.3 Controle de temperatura do compartimento de passageiros de um carro. A temperatura do compartimento de passageiros difere consideravelmente de um ponto para outro. Em vez de utilizar multiples sensores para a medicao de temperatura nos varies pontos e calcular a media dos valores obtidos, e mais economico instalar um pequeno exaustor no lugar onde os passageiros normalmente sentem a temperatura. A temperatura do ar proveniente do exaustor e uma indicacao da temperatura do compartimento de passageiros e e considerada a safda do sistema. O controlador recebe o sinal de entrada, o sinal de safda e os sinais dos sensores das fontes de disturbio e gera um sinal otimizado de controle. Esse sinal e enviado ao aparelho de ar-condicionado ou ao aquecedor, visando controlar o resfriamento ou o aquecirnento do ar, de maneira que a temperatura do compartimento de passageiros se tome o mais pr6xima possivel da desejada.
Sistemas empresariais. Um sistema empresarial pode consistir em varies grupos. Cada tarefa atribuida a um grupo vai representar um elemento dinamico do sistema. Metodos com realimentacao de informacoes das realizacoes de cada grupo devem ser estabelecidos, de modo que esse sistema tenha um desempenho apropriado. 0 inter-relacionamento entre os grupos funcionais deve ser minimizado, de modo que reduza atrasos indesejaveis no sistema. Quanto menor esse inter-relacionamento, menor o fluxo de informacoes e de materiais utilizados. Um sistema empresarial e um sistema de malha fechada. Um projeto bem planejado vai reduzir o controle administrativo necessario. Deve-se considerar que disnirbios nesse sistema correspondem a carencia de mao-de-obra ou materia-prima, a interrupcao de comunicacao, a erros humanos e a outros fatores. Para um gerenciamento apropriado, e fundamental o estabelecimento de um sistema de previsao com base em dados estatisticos, Sabe-se que um sistema pode ser otimizado pela utilizacao do lead time ou antecipacdo.
Para aplicar a teoria de controle com o objetivo de melhorar o desempenho de determinado sistema, devemos representar as caracteristicas dinamicas dos grupos componentes desse sistema por meio de um conjunto relativamente simples de equacoes, Embora exista certo grau de dificuldade em determinar representacoes matematicas dos grupos componentes, a aplicacao de tecnicas de otimizacao em sistemas empresariais melhora significativamente o desempenho desses sistemas.
5
Cil.-im 1 I Introducao aos Sistemas de Controle
EXEMPLO 1.2
Um sistema organizacional de engenharia e composto de alguns grupos principais, como geren::iamento, pesquisa e desenvolvimento, projeto preliminar, experimentos, projeto e desenho de produtos, fabricacao e ragem e testes. Esses grupos sao interligados para que a operacao de producao se processe satisfatoriamente. Esse sistema pode ser analisado pela sua reducao a um conj unto de componentes necessaries tao elementares quan- possfvel, que possibilitem o detalhamento analitico exigido, e pela representacao das caracterfsticas dinamicas de cada ponente por meio de um conjunto de equacoes simples. (0 desempenho dinamico desse sistema pode ser determinado por uma relacao estabelecida entre a realizacao progressiva e o tempo.) Veja um diagrama de blocos funcional e mostra um sistema organizacional de engenharia. Um diagrama de blocos funcional pode ser tracado com a utilizacao de blocos para representar atividades funcionais, que sao interligados por linhas de comunicacao para representar a saida da informacao ou do produto resultante da operacao do sistema. Um exemplo de diagrama de blocos e apresentado na Figura 1.4.
?mdoto
;:ec:essano __
E
.3
___, Gerenciamento
Pesquisa e desenvolvimento
Projeto preliminar
Experimentos
Projeto e desenho de produtos
Fabricacao e montagem
Produto Testes
a 1.4 Diagrama de blocos de um sistema organizacional de engenharia .
CONTROLE DE MALHA FECHADA VERSUS CONTROLE DE MALHA ABERTA
Sistemas de controle com realimentacao. Um sistema que estabeleca uma relacao de comparacao enrre a safda e a entrada de referencia, utilizando a diferenca como meio de controle, e denominado sistema de controle com realimentaciio. Um exemplo poderia ser o sistema de controle de temperatura de um amiente. Medindo-se a temperatura ambiente real e comparando-a com a temperatura de referencia (temperatura desejada), o termostato ativa ou desativa o equipamento de aquecimento ou resfriamento, de modo que egure que a temperatura ambiente permaneca em um nivel confortavel, independentemente das condicoes exteriores, Os sistemas de controle com realimentacao nao estao limitados a engenharia, podendo ser encontrados em varias outras areas. 0 corpo humano, por exemplo, e um sistema extremamente desenvolvido de controle com realimentacao. Tanto a temperatura corporal como a pressao sanguinea sao mantidas constantes por meio da realimentacao de ordem fisiol6gica. Nesse caso, a realimentacao realiza urna funcao vital: faz com que o corpo humano seja relativamente insensfvel a perturbacoes externas, permitindo seu perfeito funcionamento nos casos de mudancas no ambiente. Sistemas de controle de malha fechada. Os sistemas de controle com realimentacao sao, com frequencia, denorninados tambem sistemas de controle de malha fechada. Na pratica, os termos controle com realimentacao e controle de malha fechada sao usados indistintamente. Em um sistema de controle de malha echada, o sinal de erro atuante, que e a diferenca entre o sinal de entrada e o sinal de realimentacao ( que pode ser o pr6prio sinal de safda ou uma funcao do sinal de saida e suas derivadas e/ou integrais), realimenta o controlador, de modo que minimize o erro e acerte a safda do sistema ao valor desejado. 0 termo 'controle de malha fechada' sempre implica a utilizacao do controle com realimentacao para efeito de reduzir o erro do sistema. Sistemas de controle de malha aberta. Os sistemas de controle de malha aberta sao aqueles em que o sinal de safda nao exerce nenhuma acao de controle no sistema. Isso quer dizer que em um sistema de controle de malha aberta o sinal de safda nao e medido nem realimentado para comparacao com a entrada. Um exemplo pratico e o da maquina de la var roupas. As operacoes de colocar de molho, la var e enxaguar em uma lavadora sao executadas em uma sequencia em funcao do tempo. A lavadora nao mede o sinal de safda, isto e, nao verifica se as roupas estao hem lavadas. Em qualquer sistema de controle de malha aberta, a saida nao e comparada com a entrada de referencia, Assim, a cada entrada de referencia corresponde uma condicao fixa de operacao. Dessa maneira, a precisao do
6
Engenharia de Controle Moderno
sistema depende de uma calibracao. Na presenca de disturbios, um sistema de controle de malha aberta nao vai executar a tarefa desejada. 0 sistema de controle de malha aberta somente podera ser utilizado na pratica sea relacao entre a entrada e a saida for conhecida e se nao houver nenhum disnirbio interno ou externo. E claro que esses nao sao sistemas de controle realimentados. Note que qualquer sistema de controle cujas operacoes sao efetuadas em uma sequencia em funcao do tempo e um sistema de malha aberta. Por exemplo, o controle de trafego por meio de sinais, operado em funcao do tempo, e outro exemplo de controle de malha aberta.
Sistemas de controle de malha fechada versus malha aberta. Uma vantagem do sistema de controle de malha fechada e o fato de que o uso da realimentacao faz com que a resposta do sistema seja relativamente insensivel a disturbios e variacoes internas nos parametros do sistema. Dessa maneira, e possivel a utilizacao de componentes relativamente imprecisos e baratos para obter o controle preciso de determinado sistema, ao passo que isso nao e possivel nos sistemas de malha aberta. Do ponto de vista da estabilidade, o sistema de controle de malha aberta e mais facil de ser construido, devido ao fato de a estabilidade serum problema menos significativo. Por outro lado, a estabilidade constitui um problema importante nos sistemas de controle de malha fechada, que podem apresentar uma tendencia de correcao de erros alem do necessario, causando oscilacoes de amplitude constante ou variavel. Deve ser enfatizado que, para sistemas em que as entradas sao conhecidas com antecipacao e que sao isentos de disttirbios, e conveniente o uso do controle de malha aberta. Sistemas de controle de malha fechada sao mais vantajosos somente nos casos em que houver distiirbios e/ou alteracoes nao previsiveis nos componentes do sistema. Note que a potencia de safda determina parcialmente o custo, o peso e as dimens6es de um sistema de controle. 0 mimero de componentes utilizados em um sistema de controle de malha fechada e maior do que em um sistema correspondente de malha aberta. Assim, no sistema de controle de malha fechada, o custo e a potencia sao geralmente maiores. Visando a diminuicao da potencia necessaria a operacao do sistema, deve-se optar pelo controle de malha aberta, sempre que possivel. Uma combinacao apropriada do controle de malha aberta e de malha fechada e normalmente mais economics e vai apresentar um desempenho satisfat6rio do sistema coma um todo. EXEMPLO 1.3
A maioria 0 j Liw ] Liw aw
ao eixo imaginario ):
so, aw
Se essas duas derivadas forem iguais, aGx . aGr acy -+;-=--;au au aw
.
so, aw
ou se as duas condicoes a seguir e forem satisfeitas, entao a derivada dG(s)/ds sera unica. Essas duas condicoes sao conhecidas como condicoes de Cauchy-Riemann. Se elas forem satisfeitas, a funcao G(s) sera analitica. Como exemplo, vamos considerar a seguinte G(s): G(s)
1 s+
= --1
Entao, Gt o:
+ jw)
1 a
=
+ jw + 1
G;
+ [G;
onde e
-w
G =------
r
( tr
+ 1 )2 +
w2
Pode-se observar que, exceto para o ponto s = -1 ( ou seja, a = -1, w = 0), G(s) satisfaz as condicoes de Cauchy-Riemann:
10
Engenharia
Entao,G(s) exceto ems = 1,
=
w2 - (o- + 1)2
aG>' aw
aGx ao-
de Controle Moderno
[ (o- + 1)2 + w2J2
aGy
eo,
2w(o- + 1)
ao-
aw
[ (o- + l)2 + w2]2
1/(s + 1) e analitica em todo o plano complexo s,exceto ems
=
-1.A derivada dG(s)!ds,
e dada par: d -G(s) ds
acx ao-
. aGy
-+
=
;-
=-
Ba
aGy aw
. ac,, dca 1 (s + 1)2
- ;-
1
(o- + jw + 1)2
Note que a derivada de uma funcao analitica pode ser obtida simplesmente pela derivacao de G(s) em relacao as. No exemplo, d ( 1 ) ds s + 1
1
= -
(s
+ 1)2
Os pontos do plano s nos quais a funcao G(s) e analitica sao chamados de pontos ordinaries, enquanto os pontos do plano s nos quais a funcao G(s) nao e analftica sao chamados de pontos singulares. Os pontos singulares em que a funcao G(s) ou suas derivadas tendem ao infinito sao denominados polos. Os pontos singulares nos quais G(s) e nula sao chamados de zeros. Se G(s) tender ao infinito enquanto s tende a -p e sea funcao G(s)(s +
Pt,
paran=l,2,3, ...
tiver um valor finito, nao-nulo ems = -p, entao s = -p sera chamado de polo de ordem n. Sen = 1, o polo e chamado de polo simples. Se n = 2, 3, ... , o polo e chamado de polo de segunda ordem, de terceira ordem e assim par diante. Para ilustrar, considere a funcao complexa G( s)
JOO
f(O+)
lim sF(s)
=
s-->oo
Para provar esse teorema, utilizamos a equacao para a transformada ;£+ de df ( t) /dt: ;£+[:/(t)]
= sF(s) - f(oJ)
Para o intervalo de tempo O+ :5 t :5 oo, a medida que s se aproxima do infinito, que devemos utilizar ;£+ no lugar de;£_ para essa condicao.) Entao, lirn
S-->OO
l
00
D+
[dd f(t)Je-s' dt f
=
lim [sF(s) - f(O+)]
=
S-->OO
e-st
tende a zero. (Note
OU
f(O+) = lim sF(s) S-->00
Na aplicacao do teorema do valor inicial, nao temos restricoes quanto a localizacao dos polos de sF(s). Assim, o teorema do valor inicial e valido para a funcao senoidal. E importante notar que os teoremas do valor inicial e do valor final permitem uma obtencao direta conveniente da solucao, uma vez que eles nos possibilitam prever o comportamento do sistema no dominio de tempo, sem que seja necessaria a transformacao das funcoes ems de volta para as funcoes no domfnio de tempo. Teorema da inteqracao real. Se f (t) for de ordem exponencial e f (0-) de Laplace de J f (t) dt existe e e dad a -por.
=
f (O+)
=
f (0), en tao a trans-
fonn.ada
;£[
J
f(t) dt] = F~s) + r1s(O)
(2.8)
ondeF(s) = ;£[f(t)]er1(0) = jf(t)dt,avaliadaemt = 0. Note que, se f(t) envolve uma funcao impulso em t = 0, entao r1(o+) =I- r1(o-). Assim, se f(t) envolver uma funcao impulso em t = 0, deveremos modificar a Equacao (2.8) como se segue:
-. J ;£,_[ J
f(t) f(t) -
F(s) r1(0+) =--+--s
s
F(s) r1(0-) =--+--s
s
Cill!lli:!llm 2
I Transformada de Laplace
23
teorema da integracao real dado pela Equacao (2.8) pode ser demonstrado coma se segue. A inte- por partes conduz a:
~[ J f (t) dt] =
1
J f (t) dt
00[
]e-sr
I~ - l
[f t(t)dtJ~;
=
=_!_jt(t)dtl s
r (0)
dt
r~o
+_!_ s
f(t) ~; dt
00
Jof
f(t)e-51dt
00
F(s) s
1
=--+--
s
-·,JU.1.1-.u. o teorema esta provado.
Poclemos constatar que a integracao no domfnio de tempo e convertida em divisao, no dominio des. Se inicial da integral for zero, a transformada de Laplace da integral def (t) sera dada por F(s )Is. O teorema da integracao real, dado pela Equacao (2.8), pode ser ligeiramente modificado para obter a mt::-fi:al definida def (t). Se f (t) for de ordem exponencial, a transformada de Laplace da integral definida - - dt sera dada por:
F(s) s
(2.9)
F(s) = ~[f(t)]. Esse resultado e tambem denominado teorema da integracao real. Note que, se • envolve uma funcao impulso em t = 0, entao t+f(t) dt =I t_f(t) dt e deve ser observada a seguinte (t) dt] Para provar a Equacao (2.9), primeiramente
i=
s
~-[f(t)] s
deveremos observar que:
dt = J f(t) dt -
r (0) 1
J 1 ( 0) e igual a j f ( t) dt calculado em t = 0 e e uma Constante. En tao,
~[i
f(t)dt] = ~[Jt(t)dt]-
1
otando-se que
r
I(
0)
e Ulla Constante,
~[r1(0)]
ta} que
~[f-1(0)] = r1(0) s eremos:
~
[i
r
f(t)dt
O
Teorema da derivada complexa.
]
F(s)
r1(o)
r (0) 1
=-+-----=S
S
S
F(s) S
Se f ( t) for transformavel por Laplace, entao, exceto nos polos de F ( s), d
~[tf(t)] = - ds F(s) de F ( s)
=
~[f ( t)].
Isso
e conhecido
como teorema da derivada complexa. Alem disso,
24
Engenharia de Controle Moderno
d2 £[t2f(t)] = -2P(s) ds Em geral,
para n = 1, 2, 3, ... Para demonstrar o teorema da derivada complexa, procedemos da seguinte maneira:
£[tf(t)]
=
ex,tf(t)e-sr dt lex,f(t)-(e-s )dt ds l lex,f(t)e-st dt ds P(s) ds d
= -
1
o
o
= - -d
= - -d
O
Eis o teorema. Do mesmo modo, definindo tf(t)
=
g(t), o resultado sera:
£[t2f(t)] = £[tg(t)] = _.!!:._G(s) = _.!!:._ [-.!!:._P(s)] ds ds ds d2 d2 = (-1)2 ds2 P(s) = ds2 P(s) Repetindo o mesmo processo, obteremos: para n = 1, 2, 3, ...
Integral de convolucao.
Consideremos a transformada de Laplace de
lcf1(t - T)fz(T)d'T Essa integral
e normalmente
escrita como:
f1(t) A operacao matematica f1(t)
* fz(t) e chamada
* fz(t) de convolueao. Observe que, set - 'T
l1f1(t - T)f2(T)d'T = -
f
= (, entao
!1(f)f2(t - ()d(
= l !1('T)fz(t - 'T)d'T 1
Dessa maneira,
f1(t) *fz(t) = l1!1(t - T)fz(T)d'T
= l !1('T)f2(t - 'T)d'T 1
= f2(t) * f1(t) Se i, ( t) e Laplace de
f2( t) forem seccionalmente continuas e de ordem exponencial, en tao a transformada de
podera ser obtida do seguinte modo:
25
Transformada de Laplace
(2.10)
F1(s) = Fz(s) =
l 1
f1(t)e-s1 dt = ~[/1(t)]
00
fz(t)e-s dt =
00
1
1
~[ l
=
1
= ~[
1
f1(t - r)f2(r)dr
f1(t - r)f2(r) ".
1
> t.Dessamaneira,
Oparar
f1(t - r)l(t - r)f2(r)dr
00
f1(t - r)l(t - r)f2(r) dr]
00
l 1
=
=
- r)l(t - r)
monstraraEquac;ao(2.10),noteque/1(t
l
~[f2(t)]
00
e-s
1[
00
f1(t - r)l(t
- r)f2(r) dr] dt
ituindo: t - r = A na ultima equacao e alterando a ordem de integracao, o que 1(t) e fz(t) serem transformaveis por Laplace, obtemos:
~[1
!1(t
1
- r)f2(r)dr]
= = =
f1(t - r)l(t - r)e-sr dt
00
/i(A)e-s(A+r) d):
00
f1(A)e-sA ds:
00
1
1
1
00
nesse caso
f2(r)dr
f2(r) dr
00
f2(r)e-sr dr
00
F1(s)F2(s)
=
F:.
1 1 l
e valido
ultima equacao resulta na transformada de Laplace da integral de convolucao. Reciprocamente, se rmada de Laplace de ama funcao for dada por um produto de duas funcoes transformadas de Laplace, s) entao a funcao de tempo correspondente (a transformada inversa de Laplace) sera dada pela inconvolucao /1 (t) * fz(t).
ransformada de Laplace do produto de duas funcoes no dominio de tempo. A transformada de -~~""' do produto de duas funcoes transformaveis por Laplace f(t) e g(t) pode ser dada por: 1
ic+joo
2'TTJ
c-joo
= -.
~[f(t)g(t)]
F(p)G(s - p)dp
(2.11)
Para demonstrarmos isso, devemos proceder da seguinte maneira: a transformada de Laplace do produ( t) e g(t) pode ser escrita do seguinte modo: ~[f(t)g(t)]
=
l
f(t)g(t)e-s dt
00
1
_ -ote que a integral de inversao e: f(t)
1
ic+joo
2'TTJ
c-joo
= -.
F(s)e51 ds,
para t > 0
(2.12)
26
Engenharia de Controle Modemo
onde c ea abscissa de convergencia para F( s). Assim,
~[f(t)g(t)] Devido
a convergencia
1 ioolc+joo = -. F(p)eP' dp g(t)e-s' dt 27TJ
c-joo
O
uniforme das integrais consideradas, podemos inverter a ordem da integracao:
lc+joo F(p)dp loo g(t)e-(s-p)i
1
~[f(t)g(t)] = -.
27TJ
dt
O
c= jco
Notando-se que
obtemos:
~[f(t)g(t)]
=~
27TJ
.:
F(p)G(s - p) dp
c-joo
(2.b /
A Tabela 2.2 resume as propriedades e os teoremas da transformada de Laplace. A maioria de · foi deduzido ou demonstrado nesta secao. Resumo.
Tabela 2.2 Prnpriedades da transformada de Laplace.
= AF(s) .:C[f,(t) ± /2(t)) = F1(s) ± F2(s)
1
.:C[Af(t)]
2
I
.:e±[!/(t)]
3
4
.:e±[ di: d: f(t)]
5
d" J .:£± [ dt" f(t)
= sF(s) - f(O±)
=
s2F(s) - sf(O±) - j(O±)
=
s"F(s) - ~ s"-kf(O±) dk-1
(k-1)
onde f(t)
6
7
.:e±[
J
f(t) dt]
.:e±[j- .. jt(t)(dtt] =
9
=
F~s) + ~ [
F(,:) + S
l
f(t) dt
00
.:C[e-a'f(t)]
11
.:C[f(t - a)l(t - a)] .:C[tf(t)]
f(t) dt
± s1 -\+1
= S->0 IimF(s)
10
J I, [I·-Jt(t)(dt/]
k=l
O
Q
12
= -k-, f(t) dt -
.:£ [1' f(t) dt ]
8
(k-1)
II
I
F(s) = -sse
=
r-_0±
1
/(t) dt existir
00
F(s + a)
= e-asF(s)
a~ 0
dF(s) = - ~
' (continua na proxima pagina
Transformada
27
de Laplace
continuocaoy
I
d2 5E[t2f(t)] = -2F(s) ds
1
--
5E[t"f(t)] = (-l)"~F(s)
--
5E[~f(t)]
(n
ds"
I
=
J
... )
1 se lim - f(t) existir
';'F(s)ds
5£[tUJ]
-
= 1,2,3,
1--tO
t
= aF(as)
-
--
5E[l1f1(t - T)fz{-r)dT] 1
5E[f(t)g(t)] = -. 2'TT 1
= F1(s)Fi(s)
lc+joo F(p)G(s
- p)dp
c-joo
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE o observado anteriormente, a transformada inversa de Laplace pode ser obtida por meio da integral _ ao dada pela Equacao (2.4). Entretanto, a integral de inversao e complicada e, dessa maneira, sua uti--.-.:::-e-.nao e recomendada para encontrar transformadas inversas de Laplace de funcoes comumente enconengenharia de controle. - metodo adequado para a obtencao das transformadas inversas de Laplace e a utilizacao da tabela de •m:oonadas de Laplace. Nesse caso, a transformada de Laplace deve estar de maneira imediatamente re--=ovel na tabela. E bastante freqiiente a funcao em questao nao aparecer disponivel nas tabelas de transde Laplace disponfveis para os engenheiros. Se a transformada de uma F(s) especifica nao puder -.r .... •-.,mtrada em uma tabela,poderemos entao expandi-la em fracoes parciais e escrever F(s) em termos de -II.Dl:;S simples des para as quais as transformadas inversas de Laplace ja sao conhecidas. rve que esses metodos mais simples para a determinacao da transformada de Laplace tern como 10 de que a relacao de correspondencia biunfvoca entre uma funcao de tempo e sua transformada de &.ilP..llli:r inversa e mantida para qualquer funcao de tempo continua.
••~iS
'todo de expansao em fracoes parciais para determinacao da transformada inversa de Laplace. lemas de analise de sistemas de controle, F(s), a transformada de Laplace de f(t), apresenta-se fre,..,c;za,t;;=mente do seguinre modo:
F(s)
=
B(s) A(s)
A. s) e B(s) sao polinomios ems. Na expansao de F(s) = B(s)!A(s) em fracoes parciais, e irnportante maior potencia des em A(s) seja maior do que a maior potencia des em B(s). Se nao for esse o caso, o -mErador B( s) deve ser dividido pelo denominador A( s) para resultar um polinomio ems mais um resto (uma a::la,;;:a-io de polinomios ems cujo numerador e de menor grau que o denorninador). Se F(s) for subdividido em partes,
F(s)
= F1 (s)
+ Fz(s) + · · · + Fn(s)
transformadas inversas de Laplace de F1 (s), F2(s), . . , Fn(s) estiverern disponiveis de imediato, entao ~-1[F(s)]
= ~-1[F1(s)]
+ X-1[F2(s)] + · · + X-1[Fn(s)]
= f1(t) + fz(t) + · · + f11(t) . . , fn(t) sao as transformadas inversas de Laplace de F, (s), Fz(s), ... , F,,(s), respectivarnente. ormada inversa de Laplace de F(s) assim obtida e unica, exceto, possivelmente, nos pontos em que a
1(t),f2(t),
Engenharia de Controle Moderno
28
funcao de tempo for descontinua. Sempre que a funcao de tempo for continua, a funcao de tempo f(t) e sua transformada de Laplace F(s) terao uma correspondencia biunfvoca. A van ta gem de utilizar a expansao em fracoes parciais e que os termos individuais de F ( s), q ue resultam dessa expansao na forma de fracoes parciais, sao funcoes de s muito simples; em consequencia, nao sera necessario recorrer a tabela de transformadas de Laplace, se tivermos de memoria alguns pares simples de transformadas de Laplace. Pode-se observar, entretanto, que, na aplicacao da tecnica de expansao em fracoes parciais para a obtencao da transformada inversa de Laplace de F(s) = B(s)IA(s), as rafzes do polinomio do denominador A( s) devem ser obtidas previamente. Ou seja, esse metodo nao se aplica enquanto o polinomio do denominador nao estiver fatorado. Expansao em fracoes parciais quando F(s) envolve somente polos distintos. escrito na forma fatorada
B(s) K(s + z1)(s + z2) ··· (s + Zm) F(s) = -= --------A(s) (s+p1)(s+p2)· .. (s+pn)'
Consideremos F(s)
para m < n I
onde Pi, p2, ... , p11 e z1, z2, ... , Zm podem ser quantidades reais ou complexas, e para cada complexo p; ou z, existe o correspondente complexo conjugado. Se F(s) possuir somente polos distintos, entao ela podera ser expandida em uma soma de fracoes parciais simples, como esta indicado a seguir:
B(s) a1 a2 an F(s) = A(s) = s + P1 + s + P2 + ... + s + Pn
(2.14)
onde ak (k = 1, 2, ... , n) sao constantes. 0 coeficiente ak e chamado de residua do polo ems = -Pk· 0 valor de ak pode ser encontrado ao multiplicar ambos os lados da Equacao (2.14) por (s + Pk) e ao fazer s = -pk> que resulta em:
B(s) [ (s + Pk) A(s)
J s=-pk
_a_1-(s + Pk) + _a_2 -(s + Pk) [ s+p1 s+p2 + ··· +
=-» +Pk)+···+ + Pk S
Vemos que todos os termos expandidos sao eliminados, com excecao de minado por:
ai,
~(s S + P«
+ Pk)l
Assim, o residuo
Js=-pk
ak
e deter(2.15)
Note que, como f(t) e uma funcao real de tempo, se p1 e Pz forem complexos conjugados, entao os resfduos a1 e a2 tambem serao complexos conjugados. Somente um dos complexos conjugados, a1 ou a2, deve ser calculado, porque o outro e conhecido automaticamente. Como
f(t)
e obtido
como: para t > 0.
EXEMPLO 2.3
Determine a transformada inversa de Laplace de
F(s)
=
s + 3 (s + l)(s + 2)
Q-IID
2 I Transformada de Laplace
29
A expansao em fracoes parciais de F(s) e: s + 3 F(s) - -----
= --
(s + l)(s + 2)
a1
a2
s + 1
+ --
s +2
a1 e llz sao determinadas por meio da Equacao (2.15):
(s + l)(s + 2)
s=-1
s+3 ] a2 = [ (s + 2) (s + l)(s + 2) s=-2
3]
s+ [ --
a,= [0
.;i[f(t)].
{"" f(t) dt = lim {'f(t) dt
lo
t-+ oo
lo
Considerando a Equacao (2.9),
F(s) s Como
fo""f (t)
'
dt existe, pela aplicacao do teorema do valor final, nesse caso, temos: lim 1......:,00
l
f(t) dt
=
F(s)
lims -S
S--).0
OU
lof
= limF(s)
f(t)dt
00
A.2.9.
S-+0
Prove que, se f ( t) for uma funcao peri6dica de perfodo T, en tao
lT
.;i[f(t)]
=
f(t)e-sr dt
1 - e-Ts
Solucao. .;i[f(t)]
=
1
00
f(tV51 dt
=
oo 1(n+1)T
L
n=O
f(t)e-sr dt nT
Cilpit:illo 2
/
39
Transformada de Laplace
Mudando a variavel independente de t para
T,
sendo
r
00
,;E[f(t)]
+ nT)
onde usamos o fato de que f( T
=
= t -
T
nT,
,*'/-"Ts Jo f(TV" dr
f( T), porque a funcao f(t) e peri6dica de periodo T. Notando-se que
=
00
+ e-Ts + e-2Ts + . .
~ e-11Ts = 1 11=0
obtemos:
Segue-se entao que
Qual
e a transformada de Laplace da funcao peri6dica indicada na Figura 2.4?
Solu~o. Note que
1
T
f(t)e-"
dt = lT/2 e-s, dt
+ lT (-l)e-"'' dt
O
=
T/2
e-st \T/2 _ e-st \T -s
O
e-(1/2)Ts
_
-s
T/2
l
e-Ts _
e-(I/2)Ts
----- + -----s
-s
1 s
_ 2e-(1/2)Ts + l]
.!_ [r _
e-(1/2)TsJ2
= _ [e-Ts
=
s
Levando em conta o que foi visto no Problema A.2.9, temos: 1T f(t)e-" dt
F(s) -----
(l/s)[l
1 - e-Ts
1 - e-(112)Ts
----s[ 1 + e-(1/2)7•]
_ e-(1/2)Ts]2
1 - e-Ts
1
= -tgh-
s
Ts 4
Determine a transformada inversa de Laplace de F(s), sendo
F(s) Solucao.
1 s(s2 + 2s + 2)
=-----
Como s2
+ 2s + 2
= (s
+ 1 + jl) ( s + 1 - jl)
vemos que F(s) possui um par de polos complexos conjugados e, entao, podemos expandir F(s) do seguinte modo: 1 a1 a2s + a3
F(s) =
s( s2
+ 2s + 2)
= - + ---s s2 + 2s + 2
40
fl, n
n
u
T
-1
T
2T
Figura 2.4 Funcao peri6dica ( onda quadrada). onde a1, a2 e a3 sao determinadas a partir de 1 = ai(s2 + 2s + 2) + (a2s + a3)s Pela comparacao dos coeficientes dos termos em s2, s e s0 em ambos os !ados da ultima equacao, obtemos, respectivamente, a partir do qual a2
=
1
-2,
Portanto,
Fs
_
s+2 2 s2 + 2s + 2
_!__!_ _ _!_
( ) - 2 s
1
11 2s
1 s + 1 2 (s + 1)2 + 12
1
+ 1)2 + 12
2 (s
A transformada inversa de Laplace de F(s) resulta em:
1
1 -,
1 -,
f( t ) = - - - e sen t - - e cos t 2 2 2 ' A.2.12.
para t ~ 0
Obtenha a transformada inversa de Laplace de S(s
F(s) Solu~lio.
+
2)
= s2(s + l)(s + 3)
S(s + 2) b, b2 a1 a2 s2(s + l)(s + 3) = --; + s2 + s + 1 + s + 3
F(s)
=
a,=
S(s + 2) s2(s + 3)
onde
a2
b2
=
=
5(s + 2) s2(s + 1)
(s
s=-1
5 2
s=-3
5 18
I
S(s + 2) + l)(s + 3)
d [ bi = ds
I
(S
I
10
s=O =
3
S(s + 2) ] + 1) ( s + 3) s=O
= 5(s + l)(s + 3) - S(s + 2)(2s + 4) (s + 1)2(s + 3)2
I
= _ 25 s=O
9
O.'*-k>
2
f
41
Transformada de Laplace
25 1
F(s)
10 1 5 1 5 1 +-- + --- + ---
= ---
9 s
3 s2
2s
+1
18 s
+3
A transformada inversa de F(s) e: f(t) = --
25 9
10 5 5 + -t + -e-, + -e-3' 3
2
18
para t
'
2:
Determine a transformada inversa de Laplace de F (s)
s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 s(s + 1)
= ---------
Solu~o. Como o polinomio do numerador e de grau superior ao do polinomio do denominador, dividindo o numerador pelo denominador ate que o resto seja uma fracao, obtemos: F ( s)
=
2s s s
s2 + s + 2 + (
+5 ) +l
a1
a2
s
s+l
s2 + s + 2 + - + --
=
onde a1
+ 51 + 1
2s =-S
2s a2=--
=5 s=O
+ 51
=-3 s=-1
S
Resulta que F ( s) = s2 +
S
5 3 + 2 + - - -s s + 1
A transformada inversa de Laplace de F (s) e: f(t)
=
X-1[F(s)]
d2 dt
d 8(t) + 28(t) + 5 - 3e-•, t
= -28(t) + -d
para t
2:
0-
Obtenha a transformada inversa de Laplace de
F(s)
1
=
(
s s
2 + w2)
Solu~o.
F(s)
1
=
2 2) ss + w (
1 1 w2 s
1 s w2 s2 + w2
Entao, a transformada inversa de Laplace de F(s) e obtida como: f(t)
=
5e-1[F(s)]
1
= 2 (1 to
coswt),
para t
2:
Obtenha a transformada inversa de Laplace da seguinte F(s) [use o MATLAB para encontrar a expansao em fracoes parciais]:
s5 + 8s4 + 23s3 + 35s2 + 28s+ 3 F(s) = ----s-+-6s_ 3 2_+_8_s _ Solu~ao. 0 seguinte programa em MATLAB produzira a expansao de F(s) em fracoes parciais: _ te que k = [1 2 3] significa que F(s) envolve s2 + 2s + 3, como indicado a seguir: Fs(
0,375
)
0,25
0,375
=s 2 +2s+3+--+--+-s+4 s+2 s
42
Engenharia
de Controle Mode
num = [1 8 23 35 28 3J; den= [O O 1 6 8 OJ; [r,p,kJ = residue(num,den) r= 0,3750 0,2500 0,3750 p=
-4 -2 0 k=
2 3 Entao, a transformada inversa de Laplace de F(s) e dada por: d2 f(t) = -2t5(t) dt A.2.16.
d t
+ 2-d t5(t) + 3t5(t) + 0,375e-4' + 0,25e-2' + 0,375,
> 0-
Dados os zero(s), os polots) e o ganho K de B(s)!A(s), obtenha a funcao B(s)/A(s) utilizando o MATLAB, Considere os tres casos a seguir: (1) Nao existem zeros. Os polos estao em -1 + 2j e -1 - 2j. K = 10. (2) Um zero esta em 0. Os polos estao em -1 + 2j e -1 - 2j. K = 10. (3) Um zero esta em -1. Os polos -2, -4 e -8. K = 12. Solu~iio. Os programas em MATLAB para obter B( s )/ A( s) dicados a seguir:
num/den para os tres casos considerados sfio in-
=
= [OJ; p= [-1+2*j;-1-2*jJ;
z = [];
z
p = [-1 +2*j; -1-2*j]; K= 10; [num,denJ = zp2tf(z,p,K); printsys(num,den)
K
z=[-lJ; p = [-2; -4; -8J; K = 12; [num,denJ = zp2tf(z,p,K); printsys(num,den)
= 10;
[num,denJ = zp2tf(z,p,K); printsys(num,den)
num/den =
num/den = 1 Os
10
A.2.17.
para t
num/den =
l 2s
+ 12
Resolva a seguinte equacao diferencial:
x + 2.x + Solucao,
x(O)
lOx = t2,
=
x(O)
0,
=
Como as condicoes iniciais sao nulas, a transformada de Laplace da equacao torna-se:
s2X(s) + 2sX(s) + lOX(s)
=
2 3 s
En tao,
X(s)
2
=-----
s3(s2
+ 2s + 10)
Agora, precisamos encontrar a expansao de X(s) em fracoes parciais. Como o denominador envolve um polo triplo, e preferfvel utilizar o MATLAB para obter essa expansao em fracoes parciais. Para isso, pode ser utilizado o seguinte programa em MATLAB: A partir da resposta do MATLAB, temos:
X(s)
0,006 - 0,0087j =
s
+ 1 -
3j
+
+ 0,0087j -0,012 -0,04 +--+--+s + 1 + 3j s s2
0,006
0,2 s3
Transformada
43
de Laplace
num = [O O O O O 2]; den= [1 2 10 0 0 OJ; [r,p,k] = residue(num,den) r= 0,0060- 0,0087i 0,0060+ 0,0087i -0,0120 -0,0400 0,2000 p= -1,0000+ -1,0000-
3,0000i 3,0000i
0 0 k= []
Reduzindo os dois primeiros termos do segundo lado da equacao, obtemos: X(s) =
0,012(s (s
+ 1) + 0,0522 0,012 0,04 0,2 -----++ 1 )2 + 32 s s2 s3
A uansformada inversa de Laplace de X(s) resulta em:
x(t) = 0,012e-, cos3t
+ 0,0174e-1 sen3t - 0,012 - 0,04t + O,lt2,
para t :::::: 0
PROBLEMAS (a)
f(t) = 0,
(b)
f(t)
=
para t = e--0,4, cos 12t,
para t
sen ( 4t
+
f),
---..-o-
..... --o---l---()
C(s)
Grafico de fluxo de sinais para um sistema.
sistema existem tres caminhos diretos entre a entrada R(s) ea safda C(s). os do caminho direto sao:
P1
= G1G2G3G4G5
P2 = G1 G6G4G5 P3 = G1G2G7 ..., __ m
quatro malhas individuais, cujos ganhos sao: L1 = -G4H1 L2
=
-G2G7H2
L3 = -G6G4G5H2 L4 = -G2G3G4G5H2 L1 nao toca a malha L2. En tao, o determinante
A
e dado
por: (3.82)
••IZHtator A1 e obtido a partir de A pela remocao das malhas que tocam o caminho P1• Assim, pela remocao de L.,. e L1 L2 da Equacao (3.82), obtemos:
112 = 1 v,m-nt,or A3 e obtido pela remocao de L2, L3, L4 e L1L2 da Equacao (3.82), dando 113 = 1 - L1 __._..,-,ude transferencia de malha fechada C(s)/R(s) C(s)
R(s)
=P=
1 ~(P1A1
e, entao,
+ P2A2 + P3A3)
A aplicacao usual dos graficos de fluxo de sinais e na diagramacao de sistemas. 0 cone representado por um grafico de fluxo de sinais, onde os •maa.m as variaveis do sistema e a interconexao de nos com transmitancias diretas, ponderadas, re- es entre as variaveis, A formula de ganho de Mason pode ser utilizada para estabelecer a entrada e uma saida. (Alternativamente, as variaveis do sistema podem ser eliminadas uma
••:anios.
.. ipWii:ies que descrevem um sistema linear
92
Engenharia de Controle Moderno
a uma pelas tecnicas de reducao.) A formula de ganho de Masone especialmente iitil na reducao de diagramas de sistemas grandes e complexos, sem a necessidade de reducoes passo a passo. Por fim, note gue ao aplicar em uma so etapa, a formula de ganho de Mason a um dado sistema, deve-se ter cuidado para evitar erros no calculo dos co-fatores dos carninhos diretos, !1k, pois qualquer erro cometido pode nao ser detectado com facilidade. 3.10
LINEARIZAle,~\\C\o. e\\t,e \) ue'i>\l)camento angular B do eixo do motor e a tensao de erro _ Obtenha tambem um diagrama de blocos para esse sistema e um diagrama de blocos simplificado, supondo L~ desprezivel. Solu~iio. A velocidade de um servomotor cc controlado pela armadura e controlada pela tensao da armadua e0• (A tensao da armadura ea= K1e0 ea safda do amplificador.) A equacao diferencial do circuito da armadura e:
OU
(3.115) A equacao de equilfbrio do conjugado e: (3.116) onde 10 e o momento de inercia da combinacao motor, carga e conj unto de engrenagens, referente ao eixo do motor, e b0 e o coeficiente de atrito viscoso do conj unto motor, carga e con jun to de engrenagens do referido eixo do motor. Eliminando ia das equacoes (3.115) e (3.116), obtemos:
@(s) Eu(s)
(3.117)
Vamos supor que a relacao de engrenagens do conjunto de engrenagens seja ta! que o eixo de saida gira n vezes para cada volta do eixo do motor. Assim, (3.118) C(s) = n@(s) A relacao entre E0(s), R(s) e C(s) e:
Eu(s)
= K0[ R(s)
- C(s)]
=
K0E(s)
(3.119)
O diagrama de blocos do sistema pode ser construldo a partir das equacoes (3.117), (3.118) e (3.119), como indica a Figura 3.65(b ). A funcao de transferencia do ramo direto desse sistema e:
C(s) @(s) E (s) @(s) Eu(s) E(s) 0
G(s)
=
=
KoK1K2n s[(Las + Ra)(Jos + bo) + K2K3]
Quando La e pequeno, pode ser desprezado ea funcao de transferencia G(s) do ramo direto torna-se:
K0K1K2n
Gs=--------( ) s[Ra(los + b0) + K2K3] (3.120)
O termo [ b0 + (K2KJRa) ]s indica que a fcem do motor aumenta efetivamente o atrito viscoso do sistema. A inercia 10 e o coeficiente de atrito viscoso b0 + (K2K/Ra) referem-se ao eixo do motor. Quando 10 e b0 + (K2K3'Ra) sao multiplicados por l/n2, a inercia e o coeficiente de atrito viscoso sac expressos em termos do eixo de saida. Introduzindo novos parametros definidos por:
Engenharia de Controle M
116 J
= Jofn2 = momento de inercia referente ao eixo de saida
B = [ b0 + (K2K3'R ]ln2 = coeficiente de atrito viscoso referente ao eixo de saida 0)
K = KoK1K2lnR
a funcao de transferencia G( s) dad a pela Equacao (3.120) pode ser simplificada, resultando em: G(s) -
K
- Js2 + Bs
OU
G(s) =
K,,, s(T ,s + 1) 11
onde
K,,,=B,
J
K Tm =
J3 =
Rabo
Ralo + K2K3
O diagrama de blocos do sistema indicado na Figura 3.65(b) pode, assim, ser simplificado como mostra a ra 3.65( c). A.3.24.
_
Considere o sistema mostrado na Figura 3.66. Obtenha a funcao de transferencia de malha fechada C(s)! Solucao,
Nesse sistema existe apenas um caminho de avanco que liga a entrada R(s)
p 1
-
a saida
C(s). En -
.L .L _1_ C,s R1 C2s
Existem tres malhas individuais. Assim, 1 1 L, =--C1s R1 L2
1 1 C2s R2
= ---
L3 = ---
1
1
R, C2s
A malha L1 nao toca a malha L2. (A malha L1 toca a malha L3 ea malha L2 toca a malha L3.) Entao, o minante 11 e dado por:
+ L2 + L3) + (L1L2)
11 = 1 - (L1 = 1
1
1
R1C,s
R2C2s
1 R1C2s
1 R1C1R2C2s2
+--+--+--+-----
Como todas as tres malhas tocam no caminho de avanco P1 , removemos L1, L2, L3 e o produto de L1 Lz avaliando o co-fator 111 como se segue: 111
Figura 3.66
=
1
Grafico de fluxo de sinais de um sistema de controle.
-
3
1
117
Modelagem Matematica de Sistemas Dinamlcos
Figura 3.67
Grafico de fluxo de sinais de um sistema.
im, obtemos a funcao de transferencia de malha fechada como: C(s)
P1ti1
R(s)
ti 1 1 R1C1s
1 R2C2s
l R1C2s
1 R1C1R2C2s2
l+--+--+--+---R2
Obtenha a funcao de transferencia Y ( s )/ X ( s) do sistema mostrado na Figura 3.67. Solueao, 0 grafico de fluxo de sinais mostrado na Figura 3.67 pode ser sucessivamente simplificado como mostram as figuras 3.68(a), (b) e (c).A partir da Figura 3.68(c),X3 pode ser escrito como:
1
X3 = 2X -
+ a2
a1s
s
s
2
X3
Essa ultima equacao pode ser simplificada:
(s2 +
+ a2)X3
a1s
= X
A partir da qua!, obtemos: Y(s)
bX3
X(s)
x
b s2
+ a1s + a2
-
s
Xi
X2
-s
b
X3
Y(s)
0-----1•---:0>-=--...,.).l: .1
(b)
X(s)
b--o
Y(s)
-a1s -a2 I
(c)
X(s)
o-----•---;- --u---X.,_; 2
:__
O Y(s)
-a1s -a2 s2
Figura 3.68
Sucessivas simplificacoes do grafico de fluxo de sinais da Figura 3.67.
118
A.3.26.
Engenharia de Controle
A Figura 3.69 e o diagrama de blocos de um sistema de controle da velocidade de um motor. A velocida trolada por um conjunto de pesos volantes. Desenhe o grafico de fluxo de sinais para esse sistema. Solu~ao.
Com base na Figura 3.36(e), um grafico de fluxo de sinais para
Y(s) X(s)
1 s + 140
pode ser desenhado como mostra a Figura 3.70(a). Da mesma maneira, o grafico de fluxo de sinais para l
Z(s) X(s)
1
s
+ 140s + 1002
s2
1
+ 140 s
1002 1 1+--s + 140 s
pode ser desenhado como na Figura 3.70(b ). Desenhando um grafico de fluxo de sinais para cada um dos componentes do sistema e combinando eles em conjunto, o grafico de fluxo de sinais para o sistema completo pode ser obtido como mostra a 3.70(c). A.3.27.
Linearize a equacao nao-linear z
=x + 2
4xy
+ 6y2
na regiao definida par 8 -s x :s 10, 2 :s y :s 4. Solucao,
Defina
= z = x2 + 4xy + 6y2
t(x,y) En tao,
z
=
t(x,y)
t(x,y)
=
+ [at (x - x) + at (y - .v)] ax
ay
+ ··· x=~y-j
onde i = 9, ji = 3. Desprezando, na equacao expandida, os termos de ordem mais elevada, por serem pequenos, obtemos:
z - z
=
+ Kz(y - ji)
K1(x - x)
onde K1
K2
= at
ax
= at
ay
z=
.x2
I
=
2.x
+ 4y = 2 x 9 + 4 x 3 = 30
x=x,y=j
I ·
= 4x +
=
4
x 9 + 12 x 3 = 72
+ 4.xji + 6ji2 = 92 + 4
X
9
12.v
x=x,y=y X
3
+6
X
9
=
243
Disturbios de carga Yelocidade real
Velocidade de referencia
1002 s2+ !40s + 1002 Pesos volantes
Figura 3.69
10
10
O,ls + l
20s + I
Servossistema hidraulico
Motor
C(s)
Diagrama de blocos de um sistema de controle de velocidade de um motor.
3 I
119
Modelagem Matematica de Sistemas Dinarnlcos
X(s)
o
1
•
QY(s) s
1
s
s
X(s)~Z(s)
~
-140
-1002 (b)
(a) N(s)
1
s
s
l 002
s
1
100
s
0,5
C(s)
R(s) o-t-:>+-0+--0-...,.8-tl....C,....-O+-O-~:::,..,.-o
-1 (c)
Figura 3.70
Z s)!X(s)
=
(a) Grafico de fluxo de sinais para Y(s)!X(s) = 1/(s + 140); (b) grafico de fluxo de sinais para 11(s2 + 140s + 1002); (c) grafico de fluxo de sinais para o sistema mostrado na Figura 3.69.
En tao,
z - 243
= 30(x - 9) + 72(y - 3)
Assim, a aproximacao linear da equacao nae-linear dada, nas proximidades do ponto de operacao, e:
z - 30x - 72y + 243
=0
PROBLEMAS implifique o diagrama de blocos mostrado na -- 1 e obtenha a funcao de transferencia de malha
C(s)!R(s).
C(s)
B.3.4. Considere controladores automaticos industriais cujas acoes de controle sao proporcionais, integrais, proporcional e integral, proporcional, derivativo e proporcional, integral e derivativo. As funcces de transferencia desses controladores podem ser dadas, respectivamente, por:
U(s) E(s) U(s) E(s) U(s) E(s)
=
KP
K; s = K P
(1 + J...) T;s
U(s) E(s) =Kil+
Tds)
Diagrama de blocos de um sistema. Simplifique o diagrama de blocos mostrado na Figu_ e obtenha a funcao de transferencia C(s )!R(s). implifique o diagrama de blocos mostrado na 2. 3 e obtenha a funcao de transferencia de malha
C(s)!R(s).
onde U(s) ea transformada de Laplace de u(t), a saida do controlador, e E(s) ea transformada de Laplace de e(t), o sinal de erro atuante. Esboce as curvas de u( t) versus t para cada um dos cinco tipos de controladores quando o sinal de erro atuante for:
120
Engenharia de Controle Mod
(a) e(t) = funcao degrau unitario (b) e(t) = funcao rampa unitaria No esboco das curvas, suponha que os valores numericos de «; K;, T; e sejam dados:
r,
KP = ganho proporcional = 4 K;
=
ganho integral
=
2
R(s)
= tempo integrativo = 2 s Td = tempo derivativo = 0,8 s T;
Figura 3.72
C(s)
Diagrama de blocos de um sistema.
C(s)
Figura3.73 Diagrama de blocos de um sistema.
B.3.5. A Figura 3.74 mostra um sistema de malha fechada com uma entrada de referencia e um disturbio de entrada. Obtenha a expressao para a safda C( s) quando a entrada de referencia e a de disturbio estiverem presentes. B.3.6. Considere o sistema mostrado na Figura 3.75. Deduza a expressao para os erros estacionarios quando tanto a entrada de referencia R(s) como a de disturbio D(s) estiverem presentes.
Controlador
Figura3.74
Sistema de malha fechada.
Obtenha as funcoes de transferencia C(s)/R(s) e C(s)ID(s) do sistema mostrado na Figura 3.76. B.3.7.
D(s)
E(s)
Figura 3. 75
Sistema de controle.
Planta
.Modelagem
Matematica
121
de Sistemas Dinamlcos
C(s)
Figura3.76 controle.
Sistema de
••:ahaa representacao no espaco de estados do __
....,,..,nna Figura 3.77. y
x
Figura3.78
Sistema de amortecedores.
B.3.14. Obtenha os modelos matematicos dos sistemas mecanicos mostrados nas figuras 3.79(a) e (b ).
'&il•ilOi~ o sistema descrito por:
y + 3Y + 2y =
y
x (Saida)
u
•-=t1Ec'icinta O e:
I
'
-C dH = Qdt OU
dH
Q
dt
c
-0,01-vll
En tao, -
dH
= -0005 dt
vH
Suponha que, para t
=
ti, H
=
'
1,125 m. Integrando ambos os !ados da iiltima equacao, obtemos:
1
1,125
,25
dH = vH
_ FT'r
1'' o
(-0,005) dt = -Q,005t1
Segue-se que 1,125
2-vH
= 2vI}E
- 2v2,25
= -0,005t1
1 2,25
OU ti =
Assirn, a altura do nivel cai
a metade
175,7
do valor original (2,25 m) em 175,7 segundos.
/
/
H
Capacitancia C
-Q Figura4.27
Sistema de nfvel de liquido.
Considere o sistema de nfvel de liquido mostrado na Figura 4.28. Em regime permanente, o fluxo de entrada e o fluxo de safda sao ambos iguais a Q ea taxa de escoamento entre os reservat6rios e zero. As alturas dos nfveis nos reservat6rios 1 e 2 sao ambas iguais a ii. Em t = 0, o fluxo de entrada e alterado de Q para Q + q, onde q e uma pequena variacao do fluxo de entrada. A variacao resultante na altura dos niveis (h1 e h2) e nos fluxos ( q1 e q2) sao supostos pequenos. As capacitancias dos reservat6rios sac C1 e C2, respectivamente. A resistencia da valvula entre os reservat6rios e R1 ea da valvula de saida e R2•
--
158
Determine os modelos matematicos do sistema quando: (a) q e a entrada e h2, a safda, (b) q e a entrada e qi, a saida, e (c) q ea entrada e hi, a saida. Solucao,
(a) Para o reservat6rio 1, temos: C1 dh, = q1 dt
onde
Conseqtientemente,
Para o reservat6rio 2, temos:
onde
Segue-se que
Eliminando h1 entre as equacoes ( 4.32) e ( 4.33), temos: R1C1R2C2
d2h2 dt2
(
+ R1C1 + R2C2 + R2C1
)
dh2 dt
+ h2
dq dt + R2q
= R1R2C1
Em termos da funcao de transferencia, temos: Hi(s) Q(s)
+ 1)
R2(R1C1s
+ (R1C1 + R2C2 + R2C1)s + 1
R1C1R2C2s2
Esse e o modelo matematico desejado, no qual q e considerado entrada e h2, a saida. (b) A substituicao de h2 = R2q2 na Equacao (4.34) nos fornece: R1C1R2C2
d2q2 dt2
(
+ R1C1 + R2C2 + R2C1
) dqz
dt
+ qz
=
R1C1
dq dt +
q
Essa equacao e o modelo matematico do sistema quando q e considerado a entrada e q2, a saida. Em te da funi;:ao de transferencia, temos: R1C1s
Q2(s)
+ (R1C1 + R2C2 + R2c1)s + 1
R1C1R2C2s2
Q(s)
+ 1
(c) Da eliminacao de h2 entre as equacoes (4.32) e (4.33),resulta: d2h1 R1C1R2C2-2~
dh1 + ( R1C1 + R2C2 + R2C1 ) -d + h1 t
Q + q--
-.
Reservatorio 1 ....___
Figura4.28
~ ____,
Sistema de nivel de liquido.
Reservat6rio 2
,______.,___.../ n-»,
=
R2q
Modelagem
Matematica de Sistemas Fluidicos e Sistemas Terrnicos
159
e o modelo matematico do sistema, no qual q e considerado a entrada e hi, a safda. Em termos da funcao rransferencia, temos:
Considere o sistema de nfvel de liquido indicado na Figura 4.29. No sistema, Q1 e Q2 sao as taxas de regime perente dos fluxos de entrada e H 1 e H 2 sao as alturas dos nfveis em regime permanente. As grandezas , qi2, lu; h2, q1 e q0 sao consideradas pequenas. Obtenha a representacao de espaco de estados para o sistema do h, e h2 sao as saidas e qil e q;2 sao as entradas.
m~o.
As equacoes do sistema sao: C1 dh, = (qil - q1)dt
(4.35)
(4.36)
(4.37) (4.38) Eliminando q1 da Equacao ( 4.35) utilizando a Equacao ( 4.36), resulta: dhi _ _!__ ( _ h1 - h2) dt - C1 q;, R,
(4.39)
Eliminando q1 e q0 na Equacao ( 4.37) com o auxilio das equacoes ( 4.36) e ( 4.38), temos: dh2 = ...!._ dt C2
( h1 - h2 + . _ h2 ) q,z
R1
R2
Defina as variaveis de estado x1 e x2 como:
as variaveis de entrada u1 e u2 como:
Uz =
q,,
= =
= =
e as variaveis de safda y1 e y2 como: Y1
Y2
Q1+q;1_...~
Figura 4.29
Sistema de nivel de lfquido.
h1 h2
X1 Xz
( 4.40)
Engenharia
160
de Controle Moderno
Entao, as equacoes ( 4.39) e ( 4.40) podem ser escritas como: . 1 xi= ---xi+
1 --x2
R1Ci
. Xz
R1Ci
1
+ -u1 Ci
1 = R1C2
Sob a representacao vetorial-matricial
Xi -
padrao, temos:
que e a equacao de estado, e
que ea equacao de safda. A.4.4.
Considere o sistema de nfvel de liquido mostrado na Figura 4.30. Em regime permanente, o fluxo de entra Q; = Q, o fluxo de salda e Q0 = Q ea altura do nfvel e H = H. Seo fluxo for turbulento, teremos, entao,
Q=KVH Suponha que em t = 0 o fluxo de entrada mude de Q; = Q para Q; = Q + q.. Essa mudanca causa uma racao na altura do nfvel de H = H para H = H + h, que, por sua vez, causa uma alteracao no fluxo de de Q0 = Q para Q0 = Q + q0• Para esse sistema, temos: dH C -dt = Q·I - QO = Q·l -
KvH
onde C e a capacitancia do reservat6rio. Vamos definir dH
dt
=
«-rn
1
f(H,Q;)
=
CQ; - -c-
Note que a condicao de operacao em regime permanente e (H, Q) e H = operacao em regime permanente dH/dt = 0, temos f(H, Q) = 0. Linearize a Equacao ( 4.41) em torno do ponto de operacao ( H, Q). Solucao, Utilizando a tecnica de linearizacao pode ser obtida como se segue: dH dt - f (nH, Q-)
=
af (
-)
af (
-)
= aH H - H + aQ; Q; - Q
o
em que utilizamos a resistencia R definida por:
R = 2~ Q Alem disso,
h, Q; = Q
+ q;. Com
apresentada na Secao 3.10, a linearizacao da Equacao (
onde
f(H,Q)
H +
Modelagem Matematica
de Sistemas
Fluidicos e Sistemas
161
Terrnicos
Q;=Q+q;
t
H=ii+h
Figura4.30
Sistema de nivel de liquido.
Emao, a Equacao ( 4.42) pode ser escrita como: dH dt Como H -
1 (
-)
= - RC H - H +
C1 ( Q;
-) - Q
( 4.43)
H = he Q; - Q = qi, a Equacao (4.43) pode ser escrita como: dh
dt
1
RC h +
= -
dh dt
RC-+ h
=
1
C q; Rq,
I
ue ea equacao linearizada do sistema de nivel lfquido e e a mesma Equacao ( 4.2) obtida na Secao 4.2. O valor da constante de gas de qualquer gas pode ser determinado por meio de uma cuidadosa observacao dos ralores simultaneos de p, v e T. Obtenha a constante de gas R., para oar. Note que a 32°F e 14,7 psi (absoluta), o volume especffico do are 12,39 pes3llb. Entao, obtenha a capacitancia de um recipiente de pressao de 20 pes' que contem ar a 160°F. Suponha que o processo de expansao seja isotermico. Solu~o. pv
R.,=T
14,7
x 144 x 12,39 460
+
, - 53,3 pes-lb.zlb
32
R
De acordo com a Equacao ( 4.12), a capacitancia de um recipiente de pressao de 20 pes' e:
V C
=
nR., T
lli
20
=
1
x 53,3 x 620 = 6•05 x 10-4 lb1lpe2
ote que em termos de unidades SI, R., e dado por: Ra, = 287 N-mlkg K o sistema pneumatico de pressao da Figura 4.31(a), suponha que, para t < 0, o sistema esteja em regime permanente ea pressao de todo o sistema seja P. Suponha tambem que os dois toles sejam identicos, Em t = 0, a pressao de entrada muda de P para P + p;. Em seguida, as pressoes nos foles 1 e 2 mudam de P para P + p1 e de P para P + p2, respectivamente.A capacidade (volume) de cada fole e 5 x 10-4 m3, ea diferenca de pressao de operacao lip (diferenca entre Pi e p1 ou diferenca entre p, e p2) fica entre -0,5 x 105 Nlm2 e 0,5 x 105 Nlm2. O correspondente vazao em massa (kg/s) nas valvulas e mostrado na Figura 4.3l(b ). Suponha que os foles se expandam ou se contraiam linearmente com as pressces do ar que agem sobre eles, a constante elastica equivalente dos foles seja k = 1 x 105 Nim e cada fole tenha area A = 15 x 10-4 m2. Definindo o deslocamento do ponto media da haste que interliga os dois foles como x, determine a funcao de transferencia X(s)IP;(s). Suponha que o processo de expansao seja isotermico ea temperatura de todo o sistema permanec;a igual a 30°C. Solucao,
Tomando como referencia a Secao 4.3, a funcao de transferencia Pi(s)IP;(s) pode ser obtida como: P1(s)
1
P;(s)
R1Cs + 1
( 4.44)
162
x Fole 2 Valvula I
0,5 X 105
Valvula 2
Valvula I
q(kg/s) -0,5 X 105
P+p; (a)
Figura 4.31
(b)
(a) Sistema pneumatica de pressao ; (b) curvas da diferenca de pressao versus vazao em ma
Da mesma maneira, a funcao de transferencia P,(s )!P;(s) e:
Pz(s) P;(s)
1
R2Cs + 1
A forca que age no fole 1 na direcao de x e A(P recao x e A(P + A forca resultante equilibra dos foles
pJ
A(P1 -
+ p1) ea forca que age no fole 2 no sentido negative da kx, que ea forca elastica equivalente as laterais corru
Pz)
=
kx
OU
A[P1(s) - Pz(s)] = kX(s) Observando as equacoes ( 4.44) e (4.45), vemos que: P1(s) - P2(s) = (R1C~
+ 1 - R2C~ + 1)P;(s)
R2Cs - R1Cs
--'----------
(R1Cs + l)(R2Cs + 1)
P;(s)
Substituindo essa ultima equacao na Equacao ( 4.46) e reescrevendo-a, X(s)IP;(s) e obtida como:
obtem-se a funcao de transfe ·
A (R2C - R1 C)s k (R1 Cs + l)(R2Cs + 1)
X(s) P;(s)
Os valores numericos das resistencias medias R1 e R2 sao: R1
d !:!..p ql
=
0,5 x 105 _5 3 x 10
= 0,167 x 10 10 -k I
d !:!..p dq2
=
0,5 x 105 1,5 X 10-5
= 0333 x 1010--
= -d-
R = -2
N/m2 gs N/m2 kg/s
O valor numerico da capacitancia C de cada fole e: C onde Ra,
=
= __£___ = nR.,T
1
5 x 10--4 = 575 x 10-9~ x 287 x (273 + 30) ' N/m2
287 N-m/kg K. (Veja o problema A.4.5.) Consequentemente, R1 C = 0,167 x 1010 x 5,75 x 10-9 = ,9,60 s R2C
= 0,333
X
1010 x 5,75
X
10-9
= 19,2 s
Substituindo os valores numericos de A, k, R1 Ce R2C na Equacao ( 4.47), obtemos:
X(s) P;(s)
1,44 x 10-1s (9,6s
+ 1)(19,2s + 1)
163
odelagem Matematica de Sistemas Fluidicos e Sistemas Terrnlcos
Desenhe um diagrama de blocos do controlador pneumatico indicado na Figura 4.32. Em seguida, deduza a fu:ru;ao de transferencia desse controlador. Suponha que Rd ~ R;. Se a resistencia Rd for removida (substituida por um tubo do mesmo diametro da linha), que acao de controle vamos obter? Se a resistencia R; for removida (substitufda por um tubo do mesmo diametro da linha), que acao de controle vamos obter?
ln~o. Vamos supor que, quando e
Pc Na presente
seja igual a sesegue:
e
= 0, a distancia entre o bocal e a palheta seja Xe a pressao de controle analise, vamos supor pequenos desvios dos respectivos valores de referencia, como
= pequeno sinal de erro
x = pequena variacao da distancia bocal-palheta Pc = pequena variacao no controle de pressao
Pr
= pequena variacao de pressao no fole I devida a uma pequena variacao na pressao de controle
Pn = pequena variacao de pressao no fole II devida a uma pequena variacao na pressao de controle y = pequeno deslocamento na extrernidade inferior da palheta 4
~esse controlador, Pc e transmitida ao fole I por meio da resistencia Rj. Da mesma maneira.p, le II por meio das resistencias em serie Rd e R;. A relacao entre p1 e Pc e: P1(s)
1
Pc(s)
e transrnitida
ao
1
+ 1
RdCs
onde Td = RdC = tempo derivativo. Do mesmo modo, Pn e p1 estao relacionadas pela funcao de transferencia Pu( s)
Pr(s) onde T;
=
R;C
=
1
1 R;CS
+ 1
T;s
+ 1
tempo integrativo. A equacao de balanceamento
(Pr - Pu)A onde k, e a rigidez dos dois foles conectados e A variaveis e, x e y e:
x
=
b a+b
de forcas para os dois foles e:
= k,y
e a area
de seccao transversal dos foles. A relacao entre as
a
--e - --y
a+b
A relacao entre Pc e x e: Pc= Kx
(K > 0)
A partir das equacoes deduzidas pode-se desenhar o diagrama de blocos do controlador, como mostra a Figura 4.33( a). A simplificacao desse diagrama de blocos resulta na Figura 4.33(b ). e
c j~', '
'
~ . '' , - - : . 'K,!Figura4.32
Diagrama esquematico de um controlador pneumatico.
164
E(s)
(a)
E(s)
X(s)
aAT;s ( a + b) k,( T; s + I)( Td s + I) (b)
Figura 4.33 (a) Diagrama de blocos do controlador pneumatico mostrado na Figura 4.32; (b) diagr blocos simplificado. A funcao de transferencia entre Pc(s) e E(s) e:
Pc(s) E(s)
_b_K a+ b
1 +Ka:
b
t (T;sT;: 1)(rd/+ 1) +
+
+ 1)]1 e
Na pratica, um controlador sob condicoes normais de operacao IKaAT;sl[ (a b )k,(T;s l)(Tds maier do que a unidade e T; ;.:,. T,1• Portanto, a funcao de transferencia pode ser simplificada como se s
Pc(s) == bk,(T;s + l)(T,,s + E(s) · aAT;s =- bk,
aA
1)
( ---+-+T T; + T" 1 ) 1s T; T;s '
~ KP( 1 + ls + Tds) onde
Assim, o controlador mostrado na Figura 4.32 e do tipo proporcional-integral-derivativo. Se a resistencia Rd for removida ou R" = 0, a acao de controle se tornara a de um controlador proper · integral. Se a resistencia R; for removida ou R; = 0, a acao se tornara a de um controlador proporcional de banda ou de duas posicoes, (Note que as acoes dos dois toles de realimentacao cancelam uma a outra e nao ha
mentacao.) A.4.8.
Em virtude da tolerancia de fabricacao, as valvulas de carretel reais sao tanto sobrepostas como subpostas, sidere as valvulas de carretel sobreposta e subposta, mostradas nas figuras 4.34(a) e (b ). Esboce as curves cionando a area A descoberta do portico versus o deslocamento x. Solucao. Para a valvula sobreposta existe urna zona morta entre - 1/2 x0 e 112 x0 ou - 112 x0 = x A curva da area A descoberta do portico versus o deslocamento x esta indicada na Figura 4.35(a). Essa la sobreposta e impropria como valvula de controle.
Modelagem
Matematica
de Sistemas
Fluidicos e Sistemas
165
Terrnicos
x-
Alta
Baixa
pressao
pressao
Alta pressao
(b)
(a)
4.34
Baixa pressao
(a) Valvula de carretel sobreposta; (b) valvula de carretel subposta. A
A "- Area exposta it alta pressao
Area efetiva
x
x
~::Q_
2 Area exposta it baixa pressao (a)
(b)
4.35 (a) Curva da area A descoberta do portico versus o deslocamento x para uma valvula reposta; (b) curva da area A descoberta do p6rtico versus o deslocamento x para uma valvula subposta. a valvula subposta, a curva da area A do portico versus o deslocamento x esta indicada na Figura 4.35(b ). curva efetiva para a regiao subposta tern uma inclinacao maior, o que indica maior sensibilidade. As valvulas · · das para controle sao normalmente subpostas . .-\ Figura 4.36 mostra um controlador hidraulico com bocal de jato. 0 fluido hidraulico e ejetado do bocal de o. Seo bocal de jato for movido da posicao neutra para a direita, o embolo se movera para a esquerda e viceersa. A valvula do tipo bocal de jato nae e tao utilizada quanta a valvula do tipo bocal-palheta, em razao do maior fluxo nulo, resposta lenta e outras caracterfsticas de imprevisibilidade. Sua principal vantagem consiste na insensibilidade a liquidos poluidos. uponha que o em bolo esteja conectado a uma carga !eve, de modo que a forca de inercia do elemento de carga seja desprezfvel quando comparada a forca hidraulica desenvolvida pelo embolo. Que tipo de acao de controle esse controlador produz? Solu\'.ao. Defina o deslocamento do bocal de jato a partir da posicao neutra como x e o deslocamento do embolo como y. Se o bocal de jato for movido para a direita em um pequeno deslocamento x, o oleo fluira para o lado direito do embolo e o oleo existente do lado esquerdo do embolo retornara ao dreno. 0 6leo que flui para dentro do cilindro esta sob alta pressao; o oleo que flui do cilindro de potencia para o dreno esta sob baixa pressao, A diferenca de pressao resultante causa o movimento do embolo para a esquerda. Para um pequeno deslocamento do bocal de jato x, a vazao q para o cilindro de potencia e proporcional ax; ou seja, q
=
K1x
Para o cilindro de potencia, Ap dy = q dt
onde A
e a area
do embolo e p e a densidade do oleo. Entao, dy
q
K1
-=-=-x=Kx dt Ap Ap
onde K
=
KJ(Ap)
= constante. A funcao de transterencia Y(s)
K
X(s)
s
O controlador produz uma acao de controle integral.
·
Y ( s )/ X ( s)
e, en tao,
166
Engenharia
de Controle JVloderno
x
t
Oleo sob pressao
Figura4.36 A.4.10.
Controlador hidraulico com bocal de jato.
A Figura 4.37 mostra um bocal de jato hidraulico aplicado a um sistema de controle de fluxo. 0 controlador bocal de jato governa a posicao da valvula borboleta. Discuta a operacao do sistema. Trace o grafico de uma sfvel curva relacionando o deslocamento x do bocal a forca total F que atua no embolo. A operacao desse sistema e a seguinte: a vazao e medida pelo oriffcio, e a diferenca de pressao duzida por esse orificio e transmitida ao diafragma do dispositivo medidor de pressao. 0 diafragma esta li ao bocal de jato flutuante por meio de um braco, 0 6leo sob alta pressao e ejetado continuamente do bocal. do o bocal esta na posicao neutra, nao ha fluxo de 6leo em nenhum dos tubos que movem o embolo. Seo for deslocado pelo movimento do brace de balanceamento para um dos !ados, o 6leo sob alta pressao pela tubulacao correspondente e o 6leo no cilindro de potencia fluira de volta para o reservat6rio de dreno meio da outra tubulacao,
Solu~iio.
Valvula borboleta
Embolo Cilindro de potencia
A 6Ieo sob
Boca! de jato Entrada de referencia
Reservat6rio Filtro
Figura4.37 Diagrama esquematico de um sistema de controle de fluxo que utiliza um controlador hidraulico com bocal de jato.
odelagem Matematica de Sistemas
167
Fluidicos e Sistemas Terrnicos
F
x
Yrgura4.38
Curva da forca versus deslocamento.
uponha que o sistema esteja inicialmente em repouso. Se a entrada de referencia se alterar subitamente para vazao mais elevada, entao o bocal se deslocara de modo que movimente o embolo a fun de abrir a valvuborboleta. Entao, a vazao aumentara, a diferenca de pressao atraves do orificio se tomara maior e o bocal reornara a posicao neutra. 0 movimento do embolo para quando x, o deslocamento do bocal, retorna e fica na posicao neutra. (0 controlador do bocal de jato possui, assim, uma propriedade de integracao.) A relacao entre a forca resultante F que ativa o embolo e o deslocamento x do bocal e mostrada na Figura 4.38. A forca resultante e igual a diferenca de pressao AP no embolo vezes a area A do ernbolo. Para um pequeno deslocamento x do bocal, a forca resultante F e o deslocamento x podem ser considerados proporcionais. Explique a operacao do sistema de controle de velocidade, mostrado na Figura 4.39. i;ao. Se a velocidade da maquina aumenta, a luva do regulador de esferas e movida para cima. Esse moviento age como a entrada do controlador hidraulico, Um sinal de erro positivo ( o movimento da luva para cnna) faz com que o embolo se mova para baixo, reduza a abertura da valvula de combustfvel e diminua aveidade da maquina. Um diagrama de blocos do sistema esta indicado na Figura 4.40. A funcao de transferencia Y(s)!E(s) pode ser obtida a partir do diagrama de blocos, como: K
Y(s) E(s)
s a1
+
a2
1
+
___!!!_ K + a2 bs + k s
_a_1_
a1
b
t
z
,_ __
~= ~l) C
Motor
Figura 4.39
Sistema de controle de velocidade.
Oleo sob pressao
co
168
Engenharia de Controle Mod
Y(s)
E(s) ---1-a_2_ a1 + a2
Figura 4.40
Diagrama de blocos do sistema de controle de velocidade mostrado na Figura 4.39.
Sendo valida a seguinte condicao: a1 bs -------
I a1
+
a2
Kl
bs + k s
~1
a funr;ao de transferencia Y(s)IE(s) torna-se:
Y(s) ~ _a_2_ a1 + a2 bs + k E(s) a1 + a2 a1 bs
= a2
a1
(l + !:__) bs
O controlador de velocidade tern uma acao de controle proporcional-integral, A.4.U.
Obtenha a funcao de transferencia Z(s)JY(s) do sistema hidraulico da Figura 4.41. Suponha que os dois am cedores hidraulicos do sistema sejam identicos, Solu~o. Na deducao das equacoes do sistema, vamos supor que a forca F seja aplicada na extremidade do eixo, causando o deslocamento y. (Todos os deslocamentos y, w e z sao medidos a partir das respe posicoes de equilfbrio, quando nenhuma forca e aplicada na extremidade direita do eixo.) Quando a forca aplicada, a pressao P1 torna-se maior do que a pressao P; ou P, > P;. Da mesma maneira, P2 > P2. A equacao de balanceamento de forcas e a seguinte:
k2(y - w)
=
A(P1 - P;) + A(P2
Como
k1z
= A(P1
-
P,)
e
temos: k1z = ARq1 Alem disso, como q1 dt = A(dw - dz)p temos: q1 OU
---z
Area=A
Figura 4.41
Sistema hidraulico,
=
A(w - z)p
-
P2)
lo 4
/
169
Modelagem Matematica de Sistemas Fluidicos e Sistemas Terrnicos
Defina A2Rp
=
B (Be o coeficiente de atrito viscose). Entao, (4.50)
Alem disso, para o !ado direito do amortecedor, temos: q2dt = A dwp En tao,
OU
A(P2
P2) = Bio
-
( 4.51)
Substituindo as equacoes ( 4.49) e ( 4.51) na Equacao ( 4.48), temos:
k2y - k2w
=
k.s: + Bio
Transformando por Laplace essa ultima equacao e supondo condicoes iniciais nulas, obtemos: (4.52) Tomando a transformada de Laplace da Equac;ao(4.50)
W(s)
e supondo condicoes iniciais nulas, temos: k,
=
+ Bs
Bs
(4.53)
Z(s)
Utilizando a Equacao (4.53) para eliminar W(s) da Equacao (4.52), obtemos:
k2Y(s) a partir da qua! chegamos
=
a funcao
(k2 + Bs)
k1
+ Bs
Bs
Z(s) + k1Z(s)
de transferencia Z(s )IY(s ), como
Z(s) Y(s)
k2s ( Bs2 + 2k1 +
)
k2 s
+
k1k2 B
Multiplicando numerador e denominador dessa ultima equacao por Bl(k1k2),
Z(s) Y(s)
Definindo Blk, = T1, Blk2 = T2• Entao, a funcao de transferencia
Z(s) Y(s)
obtemos:
B -s k1
Z(s)IY(s)
torna-se:
T1s T1 T2s2
+ (T1 + 2T2)s + 1
Considere o servossistema hidraulico da Figura 4.42. Ao supor que as forcas de reacao da carga nao sao desprezfveis, deduza o modelo matematico do sistema. Suponha tambem que a massa do embolo esteja incluida na massa de carga m. Solucao, Na deducao do modelo matematico de um sistema, quando as forcas de reacao da carga nao sao desprezfveis, efeitos como a queda de pressao pelo oriffcio, o vazamento de 6leo em torno da valvula e do embolo e a compressibilidade do 6leo devem ser considerados. A queda de pressao atraves do oriffcio e uma funcao da pressao de alimentacao Ps e da diferenca de pressao lip = Pi - Pi- Assim, a vazao q e uma funcao nao-linear do deslocamento da valvula x e da diferenca de pressao lip ou q = f(x, lip)
170
Engenharia de Controle Moderno
Po
Ps
Po
t i t
)~I~~
x-o
y
P2
P1
o------=---
y-
1~-~I
Figura 4.42
Servossistema hidraulico,
Linearizando essa equacao nao-Iinear em torno da origem (x Equacao ( 4.27),
=
0, lip
=
0, q
=
0), obtemos, com referencia
Pode-se considerar a vazao q constitufda de tres partes: q = qo
onde
+
qL
+
qc
q0 = vazao util de entrada no cilindro de potencia, fazendo com que o embolo se mova, kg/s qL = vazao de vazamento, kg/s qc = vazao equivalente por compressibilidade,
kg/s
Vamos obter as expressoes especfficas para q0, qL e qc, 0 fluxo q0 dt para o lado esquerdo do embolo faz que o embolo se mova para a direita de dy. Entao, temos: Ap dy = q0 dt onde A (m2) e a area do embolo, p (kg/m3)
e a densidade
do oleo e dy(m)
e o deslocamento
do embolo. En -
dy qo = Ap dt O componente de vazamento q L pode ser escrito como: qL = L lip
onde L e o coeficiente de vazamento do sistema. A vazao equivalente da compressibilidade qc pode ser expressa em termos do modulo de compressibilidade efetivo do 6leo (incluindo os efeitos do ar contido no 6leo, a dilatacao da tubulacao etc.), onde d lip K = -dV/V
(Aqui, dV
e negativo
e, assim, -dV e positivo.) Reescrevendo essa ultima equacao, temos:
v
-dV = -d lip K OU
-dV _ pV d lip P dt - K dt Notando que qc
=
p(-dV)!dt, encontramos: (
a
Modelagem
Matematica
de Sistemas
171
Fluidicos e Sistemas Terrnlcos
onde Ve o volume efetivo do 6leo sob compressao ( que e aproximadamente dro de potencia). Itilizando as equacoes (4.54) a (4.58): q
metade do total do volume do cilin-
K1x - K2 t..p
=
= qo
+
qL
+
qc
dy
pV d t..p
dt +
= Ap
+K
L txp
~
OU
+ pV d t..p + (L + K)2 t..p
Ap dy dt A forca desenvolvida pelo embolo
eA
K
=
dt
ts p, e essa forca d2y
e aplicada
Kx
(4.59)
I
aos elementos de carga. Assim,
dy
m dtz + b dt + ky
(4.60)
= A t..p
Eliminando t..p das equacoes (4.59) e (4.60), temos: pVm d3y
----+
KA dt3
)m]
pVb + (L + K2 [ KA A pVk
+ [ Ap + KA +
(L
d2y dt2
+ K2)b]dy A
dt
+
(L
+ K2)k A
y = Kix
Esse e o modelo matematico do sistema que relaciona o deslocamento x do carretel da valvula e o deslocamento y do embolo quando as forcas reativas da carga nao forem desprezfveis, Considerando pequenos desvios em relacao ao ponto de operacao em regime permanente, desenhe um diagrama de blocos do sistema de aquecimento de ar mostrado na Figura 4.43. Suponha que a perda de calor para o meio ambiente e a capacitancia terrnica das partes de metal do aquecedor sejam desprezfveis.
Solu~iio. Vamos definir:
B;
= temperatura do ar de entrada em regime permanente, °C
€) 0
=
temperatura do ar de safda em regime permanente, °C
G = vazao em massa do ar na camara de aquecimento, kg/s
M
= massa do ar contido na camara de aquecimento,
kg
c = calor especffico do ar, kcal/kg °C R = resistencia termica, °C s/kcal C = capacitancia termica do ar contido na camara de aquecimento = Mc, kcal!°C
R
=
entrada de calor em regime estacionario, kcal/s
Vamos supor que a entrada de calor seja alterada de R para R + he a temperatura do ar de entrada seja bruscamente alterada de @; para @; + 6;. Entao, a temperatura do ar de safda vai variar de @0 para @0 + 60• A equacao que descreve o comportamento do sistema e: C d60 =
[h +
Ge(6; - 60)]dt
OU
d60 = h C dt
+ Ge 61 (
-
60 )
Notando que 1 Ge= -
R
obtemos:
c-d6dt
= h
+- R1 ( 6- - 6 ) I
O
OU
d6 RC di°
+6
= Rh
+ 6;
Engenharia de Controle Mod
172
Ji+h
t Aquecedor
Figura 4.43
Sistema de aquecimento de ar.
Tomando as transformadas de Laplace de ambos os !ados dessa ultima equacao e substituindo a condicao cial em que 00(0) = 0, obtemos: @o(s) = RC:+ 1 H(s) O diagrama de blocos correspondente
+ RC}+ 1 B;(s)
do sistema para essa equacao e mostrado na Figura 4.44.
@;(s)
RCs + 1
H(s)
R RCs + I
Figura 4.44 Diagrama de blocos do sistema de aquecimento de ar mostrado na Figura 4.43. A.4.15.
Considere o sistema formado pelo termometro de merctirio com parede fina de vidro, da Figura 4.45. Su que o termometro esteja a uma temperatura uniforme@ (temperatura ambiente) e emt = 0 ele seja ime um banho cuja temperatura seja + eb, onde eb ea temperatura do banho (que pode ser constante riavel), medida a partir da temperatura ambiente Defina a temperatura instantanea do termometro + e de modo que fJ seja a variacao da temperatura do termometro que satisfaz a condicao 0(0) = 0. nha um modelo matematico para esse sistema. Obtenha tambem o analogo eletrico do sistema do termo
e
e.
e
Solueao. Um modelo matematico para esse sistema pode ser deduzido considerando o balanceamen mico da seguinte maneira: o calor de entrada do termometro durante dt seq dt, onde q e o fluxo de calor trada no termometro. Esse calor e armazenado na capacitancia termica C do terrnometro, elevando, desse a temperatura em de. Assim, a equacao de balanceamento de calor e:
c de= q dt Como a resistencia termica R pode ser escrita como:
= d(M) = M
R
dq
q
o fluxo de calor q pode ser dado, em termos da resistencia termica R, como: q
onde @
=
(e + eb) - (e + e)
eb - e
R
R
+ eb e a temperatura do banho e
@
+ e e a temperatura do termometro, Entao, podemos rees
Equacao (4.61) como:
de dt
e" - e
C-=--
R
OU
de dt
RC-+ A Equacao ( 4.62)
e um modelo
e
= 01,
matematico do sistema do terrnometro.
173
Modelagem Matematica de Sistemas Fluidicos e Sistemas Terrnlcos
Banho
Figura4.45
Sistema de termometro de mercuric com parede fina de vidro.
a Equacao
Com referencia
( 4.62), um analogo eletrico para o sistema do termometro pode ser escrito coma: de; RC-+ dt
e
=
e, I
O
Um circuito eletrico representado por essa iiltima equacao
e mostrado
na Figura 4.46.
R
CI
~ e, 0
Figura4.46
-
e0 0
Analogo eletrico do sistema do termometro mostrado na Figura 4.45.
PROBLEMAS Considere o sistema de nivel de liquido da FiguAo supor que fi = 3 m, Q = 0,02 m3/s e a area da versa! do reservat6rio seja igual a 5 m2, detertante de tempo do sistema no ponto de operacao Suponha que a vazao pela valvula seja turbulenta.
t
H+h
a-«
'----'-----1----------~-v>.''-"'"~---+Capacitancia
c
Resistencia R
Figura 4.48
Sistema de nfvel de lfquido. Considere o sistema constitufdo pelo reservatoagua conico da Figura 4.48. A vazao pela valvula enta e esta relacionada com a altura do nfvel Q=
o,oosvH
Q ea vazao medida em m3/s e Hem metros. que a altura do nfvel seja de 2 m em t altura do nivel em t = 60 s?
Im"!~=
=
0. Qua!
Sistema de reservat6rio
de agua conico.
B.4.3. Considere o sistema de nfvel de lfquido da Figura 4.49. A vazao de entrada em regime permanente e Q e a de saida tambem e Q. Suponha que em t = 0 a vazao de entrada se altere de Q para Q + qi. onde o valor de q; e pequeno. 0 disturbio de entrada e qd, cujo valor tambem e pequeno. Desenhe o diagrama de blocos desse sistema e o simplifique para obter H2(s) como uma funcao de Q;(s) e Qis), onde H2(s) = 5E[h2(t)], Q;(s) = 5£[ q;(t)] e Qd(s) = 5£[ qit)]. As capacitancias dos reservat6rios 1 e 2 sao C1 e C2, respectivamente.
174
Engenharia de Controle Mod
Reservat6rio 1
Figura 4.49
t
....----,.----,~
Reservat6rio 2
Sistema de nivel de lfquido.
B.4.4. Considere o sistema de controle de nfvel de liquido mostrado na Figura 4.50. 0 controlador e proporcional. O ponto de referencia do controlador e fixo. Esquematize o diagrama de blocos do sistema, supondo que a alteracao das variaveis seja pequena. Determine a
funcao de transferencia entre o nfvel do segundo r vat6rio e o disturbio de entrada qd. Obtenha o erro cionario quando o distiirbio qd for a funcao de unitario.
Controlador proporcional r-------------L...::::::....J
~--qd
Figura4.50
Sistema de controle de nfvel de liquido.
B.4.5. Para o sistema pneumatico mostrado na Figura 4.51, suponha que os valores da pressao do ar e do deslocamento do fole em regime permanente sejam P e X, respectivamente. Suponha tambem que a pressao de entrada varie de P para P + Pi, onde P; e uma pequena va-
riacao da pressao de entrada. Essa variacao vai ca pequeno deslocamento x do fole. Ao supor que a citancia do fole seja Ce a resistencia da valvula seja termine a funcao de transferencia relacionando x e
X+x
c
I P+Po
Figura 4.51
Sistema pneumatico.
I
175
Modelagem Matematica de Sistemas Fluidicos e Sistemas Termicos
A Figura 4.52 mostra um controlador pneumati. pneumatico tern a caracterfstica Pc = Kp.; onde tipo de acao de controle esse controlador pro.....,.uu,ca a funcao de transferencia Pc(s)!E(s).
B.4.7. Considere o controlador pneumatico da Figura 4.53. Ao supor que o rele pneumatico tenha as caracteristicas Pc= Kp., (onde K > 0), determine a acao de controle desse controlador. 0 sinal de entrada do controlador e e e ode saida e Pc· Sinai de erro atuante e
Y+y
Orificio -
,::_·~
~·~ I I
P,
--!..*.t-
Figura4.52 Controlador pneumatico.
Sinai de erro atuante e Palheta
Orificio R
P,
,::_·1
~·~ I I
--t..*..rFigura4.53
Controlador pneumatico,
Figura 4.54 mostra um controlador pneumatico. entrada e e e a variacao da pressao de controle de saida. Obtenha a funcao de transferencia .r . Suponha que o rele pneumatico tenha como · ica Pc = Kpi; onde K > 0. Considere o controlador pneumatico da Figura ea acao de controle produzida por esse controonha que o rele pneumatico tenha como caracPc = Kpi, onde K > 0. A Figura 4.56 mostra uma valvula de palheta. Ela •nocada entre dois bocais em oposicao. Se a palheta
for deslocada ligeiramente para a direita, ocorrera um desequilfbrio de pressao nos bocais e o embolo se movera para a esquerda e vice-versa. Esse dispositivo e frequentemente utilizado em servossistemas hidraulicos como valvula de primeiro estagio de servovalvulas de dois estagios. Esse uso ocorre porque podem ser necessarias forcas consideraveis para mover o carretel de grandes valvulas, Para reduzir ou compensar essa forca, freqi.ientemente, e empregada uma configuracao de valvulas em dois estagios, Uma valvula de palheta ou de bocal de jato e utilizada como valvula de primeiro estagio, capaz de produzir a forca necessaria para acionar uma valvula de carretel de segundo estagio. A Figura 4.57 mostra um diagrama esquemati-
Engenharia de Controle Mod
176
co de urn servomotor hidraulico, no qual o sinal de erro e arnplificado em dois estagios corn a utilizacao de urn bocal de jato e urna valvula-piloto. Esquematize o diagrarna de
blocos do sisterna da Figura 4.57 e determine a funcao transferencia entre x e y, onde x e a pressao do are ye deslocarnento do embolo.
Sinai de erro atuante e
Orificio ----
Figura4.54 pneumatico,
Controlador
Figura4.55 pneumatico,
Controlador
R
r,
Pc+ Pc
,:_·~ I I
~'~ --~>'----==----------=----o
--
Y
Palheta
Figura 4.56
Valvula de palheta.
4
/
Modelagem
Matematica
de Sistemas
177
Fluidicos e Sistemas Terrnicos
..1----=------0--Y
----=---------:--11 I! I
Figura4.57 Diagrama esquematico de um servomotor hidraulico.
1~r1~-, 1
Oleo sob pressao
Oleo sob pressao
A Figura 4.58 e o diagrama esquematico de um a de controle do leme do profundor de uma aero.* 0 sinal de entrada do sistema e o angulo () de de- da alavanca de controle e o sinal de saida e o angulo vacao ¢. Suponha que os angulos () e